（浙江省2022届高考数学模拟试题汇编） 数列解答题 一、解答题 1．（浙江省温州市平阳中学2020届高三小学期3月高考模拟数学试题）已知数列中，，． （1）求证：数列是等比数列； （2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】（1）证明见解析；（2）1和2. 【分析】 （1）利用递推关系可得，从而可证数列是等比数列； （2）由（1）可求的通项，从而可求的通项，两者结合可求和，最后根据单调性可求满足的所有正整数． 【详解】 （1） ， 故， 因为，故，故，故， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得． 由，得， 则， 所以 因为为减数列，为减数列，故单调递减， 当时，，满足；时，， 所以时，总成立 ，不满足要求，舍， 又， 同理，当且仅当时，， 综上所述，满足的所有正整数为1和2． 【点睛】 本题考查数列通项的求法与前项和的求法，后者注意根据奇数项和偶数项的关系先求，本题属于较难题. 2．（浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）在数列中，，，设. （1）讨论数列的单调性，并证明：存在下标，当时，； （2）若的前项的和，求整数的最大值. 【答案】（1）数列单调递增，证明见解析；（2）. 【分析】 （1）推导出，以及，可得出数列的单调性，计算出、、，结合数列的单调性可证得结论成立； （2）由推导出，进而推导出，利用裂项求和法可求得的表达式，进而可求得整数的最大值. 【详解】 （1），，则， ，则. 猜想，对任意的，. 时，猜想成立； 假设当时，猜想成立，即，则， ， 这说明，当时，猜想也成立，所以，对任意的，. 所以，，则， 因此，数列是单调递增数列. ，则，， . 取，当时，； （2），则， 上述等式两边取倒数得， ， 故， 所以， 由（1）可知，，故， 因此，整数的最大值为. 【点睛】 本题考查数列单调性的证明与应用，同时也考查了利用数列不等式成立求参数，考查裂项求和法的应用，考查计算能力，属于难题. 3．（浙江省杭州市2020届高三下学期教学质量检测数学试题）已知数列的各项均为正数，，，是等差数列，其前项和为，. （1）求数列的通项公式 （2），，若对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）设的公差为，计算得到，故，得到答案. （2）计算，，根据裂项相消法计算，得到，根据数列的单调性得到答案. 【详解】 （1）设的公差为，，由，得. 即，解得或. 因为数列为各项均为正数，，所以，所以. 所以，所以. （2）， 因为， 所以， 所以不等式，化为， 即恒成立，而单调递减， 所以，即. 【点睛】 本题考查了求数列通项公式，裂项求和，数列恒成立问题，确定数列的单调性是解题的关键. 4．（浙江省台州市2020届温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题）数列中，，，且. 令，将用表示，并求通项公式； 令，求证：. 【答案】；；证明见解析. 【分析】 由数列中，，，且. 可得，利用累加求和方法可得，可得. 时，.即可证明. 【详解】 解：数列中，，， 且. . 时，. ，可得，当时，该式也成立. . 证明：时，. . ，时也成立. 综上可得：. 【点睛】 本题考查数列递推关系，裂项求和方法，累加求和方法，放缩法，考查了推理能力和运算能力，属于中档题. 5．（浙江省绍兴市2020届高三下学期4月第一次高考模拟考试数学试题）已知数列是等比数列，，且成等差数列.数列满足：. （1）求数列和的通项公式； （2）求证：. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）有等比数列和等差中项的性质及可求通项公式， 由得出 ，作差即可求 的通项公式； （2）放缩法得出，用错位相减得出 ，即可证出. 【详解】 （1）设等比数列的公比为，则， ，， 由成等差数列，得， 即，即 ，解得，所以； 当时，，当时， ... ...
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