浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模）空间向量与立体几何小题（原卷+解析）

（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模）） 空间向量与立体几何小题 一、单选题 1．（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟试题）已知底面为正方形的四棱锥，点的射影在正方形内，且到的距离等于的长，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，二面角平面角为，则下列结论可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设点在正方形内的射影为，作，得； 若A成立，由对称性可知与正方形中心重合，此时不满足，A错误； 若B成立，由知在上，得到，B错误； 若C成立，由知在中点连线上，由知，可知存在满足的点，C正确； 若D成立，由知在上，由知，此时不存在满足的点，D错误. 【详解】 设点在正方形内的射影为，连接，且，作，垂足为，则， 对于A，若，由对称性可知，点在上； 同理，当时，点在上；则，即点与点重合， 此时，又，，与矛盾，A错误； 对于B，若，则点在上，此时，又，，与矛盾，B错误； 对于C，若，则点在中点连线上，如下图所示： 由对称性可知：，此时，即与重合，； ，在线段上，设正方形边长为， 则当时，，使得成立，C正确； 对于D，若，则在上，如下图所示： ，则在线段上，此时不存在点满足，使得，D错误. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查立体几何中二面角相关问题的求解，解题关键是能够根据二面角的大小关系和对称性确定点在底面上的投影点的位置，结合点位置来进行分析. 2．（浙江省金华市东阳市2021届高三下学期5月模拟考试数学试题）已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得动点的轨迹方程，再由直线与平面的夹角可得出最值. 【详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，，则，因为， 所以，即 ，所以点的轨迹为以点为球心、为半径的球与正方体表面的交线， 即为如图的，，，要使得与底面所成的角最大， 则与底面的交点到点的距离最短，从而点在上，且在上， 则，从而，所以的最大值为， 故选：A． 【点睛】 本题考查动点的轨迹、直线与平面所成角、空间法向量的应用．根据题意建立适当的空间直角坐标系，并求出点的轨迹是解答本题的突破口，属于难度题． 3．（浙江省温州市普通高中2021届高三下学期5月高考适应性测试数学试题）在三棱锥中，，点在面上的投影是的垂心，二面角的平面角记为，二面角的平面角记为，二面角的平面角记为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据题意作出各二面角的平面角，再在每一个直角三角形中将角用三角函数表示出达，然后再通过比较边长从而达到比较角的大小的目的. 【详解】 因为为点在平面的投影，且为的垂心连接交于点，连接，可知平面，所以，可知，所以在上的投影为，过作，连接.连接交于，连接. 这样. 又因为,在中，,可得. 在中， , , ， 又因为在中，，所以，所以， 所以，所以 而 所以. 所以在中，， 所以在中，， 因为，所以，所以. 由题意，可知平面，所以， 又为的垂心，所以，且， 所以平面，所以， 取的中点，连接、. 由于为正三角形，所以，且， 所以平面，因此，由于为的中点，所以， 又，所以三棱锥为正三棱锥. 在分别，中，， 而，， 从而可知选项C正确. 故选：C. 4．（浙江省Z20联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知在正方体ABCD-中，点MN分别为BC，C1D1的中点，点P在线段AB上，记二面角N-PM-D的平面角大小为a，则当点P从A向B运动的过程中，角a的变化情况是（ ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】 根据条件作出二面角N-PM-D的平面角，当点P从A向B运动的过程中， ... ...