概率与统计专题03 正态分布-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）

中小学教育资源及组卷应用平台 概率与统计 专题三： 正态分布 一、必备秘籍 1、若随机变量的概率分布密度函数为对任意的，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如上图所示． 若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布(normal dis-tribution)，记为．特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，即． 由的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： （1）曲线在轴的上方，与轴不相交． （2）曲线是单峰的，它关于直线对称． （3）曲线在处达到峰值 (最高点) （4）当无限增大时，曲线无限接近轴． （5）轴与正态曲线所夹面积恒等于1 ． 2、正态分布的原则 二、例题讲解 （2021·湖南高三其他模拟） 1. 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下． （1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望； （2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位） 解题中可参考使用下列数据：，，． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可求得抽取的10人中合格的有6人，不合格的4人，则的可能值为0，1，2，3，4，然后求出对应的概率，从而可得的分布列和数学期望， （2）由题意可求得的值，由服从正态分布和正态分布的性质可求得答案 【详解】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．因此，的可能值为0，1，2，3，4，则 ，，，，． 故的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望． （2）由题意可知，． ，所以． 由服从正态分布，得 ， 则，，． 所以此次竞赛受到奖励的人数为50． （2021·全国高三其他模拟） 2. 中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40. （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）求； （ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率. 参考数据：若，则，，，，，. 【答案】（1），；（2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用样本平均数和样本方差的公式直接求解； （2）（i）利用正态分布概率密度曲线的特点即可求解； （ii）利用频率估计概率，求对立事件的概率即可求解. 【详解】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1， 则平均数； 方差 . （2）（i）由（1）得，，故学生校史问卷测试分数近似服从正态分布， 则 . （ii）， 故随机抽取一名学生，测试分数在90.8分以 ... ...