立体几何专题02 异面直线所成角-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）

中小学教育资源及组卷应用平台 立体几何 专题二：异面直线所成角 一、必备秘籍 两条异面直线所成的角． ①定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角． ②范围：两异面直线所成角的取值范围是． ③向量求法：设直线的方向向量分别为，，其夹角为，则有. 二、例题讲解 （2021·海原县第一中学高三二模（理）） 1. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为. （1）证明：直线平面； （2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据四边形的面积为得出，然后过点作于点，根据勾股定理得出，再然后通过底面得出，最后通过线面垂直的判定即可得出结果； （2）本题首先可以构建空间直角坐标系，然后得出，，最后通过即可得出结果. 【详解】（1）因为四边形的面积为，所以，解得， 如图，过点作于点，则，， 因为，所以， 因为底面，底面，所以， 因为，所以直线平面. （2）因为底面，所以为在平面内的投影， 故即为直线与平面所成的角，， 因为，所以， 因为，所以， 如图，作空间直角坐标系， 则，，，， ，， 则， 故直线与所成角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定以及异面直线所成角的求法，若平面外一条直线垂直平面内两条相交直线，则线面垂直，考查勾股定理与空间直角坐标系的应用，考查线面角的相关性质，考查数形结合思想，是中档题. 感悟升华（核心秘籍） 异面直线所成角是比较简单考点，计算时还是需要注意向量计算准则，最后求值特别注意问题问的是正弦，余弦，还是正切. 三、实战练习 （2021·全国高三模拟预测） 2. 直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，，分别在线段，上． （Ⅰ）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值； （Ⅱ）若为上的动点、为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），． 【解析】 【分析】（Ⅰ）设出圆台上、下底面半径，求出圆台高，再利用直二面角建立合适的空间直角坐标系，即可求解；（Ⅱ）取的中点，连接，，，由线线平行与线面垂直性质，即可求解最大值，再利用空间向量法即可求解二面角的余弦值． 【详解】（Ⅰ）设圆台上、下底面半径分别为，． ∵，∴；∵，∴． ∵，∴． 过点作于点，则， ，∴圆台的高为． ∵二面角是直二面角， ∴建立空间直角坐标系如图所示， 点，，，，， ∴， ∴与所成角的余弦值为． （Ⅱ）取的中点，连接，，， ∴，则． ∵平面，∴平面， ∴为直线与平面所成角，， 当时，最小，最大． 在中，，，，， ，即与平面所成最大角的正切值为． 又点，，，， 设点，平面的法向量，，，即，∴， 则，，，即， 解得，． 即令得． 易知平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则． 由图易得二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为． 【点睛】本题考查了立体几何中线线角、线面角以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于建立空间直角坐标系，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. （2021·江苏扬州中学高三模拟预测） 3. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在棱上，且． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）当直线与平面所成的角最大时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值． （2）求出平面的法向量，利用向 ... ...