三角函数与解三角形专题03 解三角形（周长问题）-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）

中小学教育资源及组卷应用平台 三角函数与解三角形 专题三：解三角形（周长问题） 解三角形是高中数学教学中的一个重要内容，也是高考的热点之一．解三角面积或者周长最值问题，由于涉及的知识点多，灵活性大，综合性强，往往成为学生的弱项．本文结合具体例题，讲解核心秘籍． 1、正弦定理及其变形 2、余弦定理及其推论 3、常用的三角形面积公式 （1）； （2）（两边夹一角）； 4、基本不等式 ① ② 二、例题讲解 （2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理）） 1. 设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为 （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件，结合余弦定理求，即可求角； （2）由（1）知，应用正弦定理可得，进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得，即可求的范围. 【详解】（1）由题意得，， 由余弦定理得，即. （2）由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：， 由正弦定理知，， ∴，即， 而，又， ∴，可得， ∴. （2021·陕西汉台中学高三月考（文）） 2. 已知锐角内角，，及对边，，，满足． （1）求的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可得的值． （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知求出的取值范围，再利用正弦函数的性质即可求解其范围． 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 所以， 可得， 由，可得． （2）因为，， 由正弦定理，可得，， 可得， 因为锐角三角形中，所以，解得，所以， 所以，可得． 三、实战练习 （2021·湖北高三开学考试） 3. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围． 【详解】解：（1）由及正弦定理得， 所以，所以， 所以，由，可得； （2），，所以， 所以： ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 所以，. （2021·全国高三其他模拟） 4. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，. （1）求角的大小； （2）若，，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值，结合的范围即可得解； （2）由（1）及已知求出的取值范围，再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得. 【详解】（1）在中，因，则，即，而，得， 所以角的大小为； （2）由知，于是得为钝角，又，则， 由正弦定理得，则，， 则， 而，即，则， 于是得，， 所以周长的取值范围为. （2021·肥城市教学研究中心） 5. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，化简得， 利用的范围可得答案； （2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 即， 解得， 因为，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以. （2021·江苏南京市·金陵中学高三开学考试） 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足． （1）求角的大小； （2）若边长，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，结合，可得的值； （2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换可得，再 ... ...