专题突破练 利用导数证明不等式 1.(2021河南焦作三模,理19)已知函数f(x)=xln x. (1)求f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程,并证明f(x)的图象上除点A以外的所有点都在这条切线的上方; (2)若函数g(x)=(ln x+1)·sin 2x-2f(x)cos 2x,x∈,证明:g(x)≥cos. 2.(2021全国乙,理20)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点. (1)求a; (2)设函数g(x)=,证明:g(x)<1. 3.已知函数f(x)=x+.设函数g(x)=ln x+1,证明:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x). 4.(2021甘肃兰州一模,理21)已知f(x)=sin x. (1)判断函数g(x)=f(x)-x是否存在极值,并说明理由; (2)求证:当0
ax2在x>0恒成立. 5.(2020山东德州二模,21)已知函数f(x)=x2-ax+aln 2x(a≠0). (1)若a<0时f(x)在[1,e]上的最小值是-ln 2,求a; (2)若a≥e,且x1,x2是f(x)的两个极值点,证明:f(x1)+f(x2)<)-2e(其中e为自然对数的底数). 6.(2021浙江杭州二模,22)已知函数f(x)=aln(x+1)(a>0),g(x)=. (1)当a=1时,求证:对任意x>0,f(x)>g(x); (2)若函数f(x)图象上不同两点P,Q到x轴的距离相等,设f(x)图象在点P,Q处切线交点为M,求证:对任意a>0,点M在第二象限. 参考答案 1.(1)解由题意可得f'(x)=ln x+1,f'(1)=1,f(1)=0, 所以f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程为y=x-1, 设h(x)=xln x-x+1,则h'(x)=ln x, 令h'(x)<0,得00,得x>1,h(x)单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,所以xln x≥x-1,当且仅当x=1时取等号, 所以f(x)的图象上除点A外的所有点都在这条切线上方. (2)证明由g(x)=(ln x+1)·sin 2x-2xln xcos 2x,x, 得g'(x)=2(ln x+1)·cos 2x+-2[-2xln xsin 2x+(ln x+1)·cos 2x]=sin 2x, 因为x,所以sin 2x>0. 又由(1)知xln x≥x-1,所以+4xln x+4(x-1)=4x+-4≥2-4=0(两个等号不能同时成立), 所以g'(x)>0,所以g(x)在上单调递增, 所以g(x)≥gcos 2.(1)解由题意,f(x)的定义域为(-∞,a). 令p(x)=xf(x),则p(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a), p'(x)=ln(a-x)+x=ln(a-x)+ 因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有p'(0)=0, 即ln a=0,所以a=1. 当a=1时,p'(x)=ln(1-x)+,且p'(0)=0, 当x<0时,p'(x)>0,当0xln(1-x), 即x+(1-x)ln(1-x)>0. 令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x<1, 则h'(x)=(1-x)+1-ln(1-x)=-ln(1-x), 所以h'(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0, 当x∈(0,1)时,h'(x)>0, 所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,所以当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,h(x)>h(0)=0,即x+ln(1-x)>xln(1-x), 所以<1,所以<1. 3.证明令h(x)=f(x)-g(x)=x+-ln x-1(x>0),h'(x)=1-,设p(x)=x2-x-a=0,函数p(x)的图象的对称轴为x=p(1)=1-1-a=-a<0, 设p(x)=0的正根为x0,∴x0>1,由对称性知,p(x)=0的另一根小于0,h(x)在(0,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,所以x0为h(x)的极小值点也是最小值点,所以h'(x0)=0,即+x0=a,h(x)min=h(x0)=x0+-ln x0-1=x0+-ln x0-1=2x0-ln x0-2,令F(x)=2x-ln x-2(x>1),F'(x)=2->0恒成立,所以F(x)在(1,+∞)上为增函数. 又F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0, 故当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x). 4.(1)解函数g(x)没有极值. g(x)=f(x)-x=sin x-x,g'(x)=cos x-1, 当x∈(2kπ,2kπ+2π),k∈Z时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,没有极值; 当x=2kπ,k∈Z时,g'(x)=0,但x=2kπ,k∈Z是g'(x)的不变号零点,所以不是g(x)的极值点,所以g(x)没有极值. (2)证明[f(x)]2+x4>ax2 sin2x+x4-ax2>0 cos 2x-x4+2ax2<1,问题等价于证cos 2x-x4+2ax2<1, 令h(x)=cos 2x-x4+2ax2,则h'(x)=-2sin 2x-x3+4ax,令s(x)=sin 2x+x3-2ax, 则s'(x)=2cos 2x+4x2-2a=2(cos 2x ... ... 
