圆锥曲线中的范围、最值、证明问题突破练-2022届高考数学二轮专题复习（Word含答案）

专题突破练　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 1.(2021·河北唐山一模)已知抛物线E:x2=4y,点P(1,-2),斜率为k(k>0)的直线l过点P,与E相交于不同的两点A,B. (1)求k的取值范围; (2)斜率为-k的直线m过点P,与E相交于不同的点C,D,证明:直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形. 2.(2021·山东潍坊三模)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(m,2)(m>0)在抛物线C上,且满足|PF|=3. (1)求抛物线C的标准方程; (2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求△PQG周长的最小值. 3.(2021·广东深圳一模)设O是坐标原点,以F1,F2为焦点的椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点. (1)求C的方程; (2)P是C外的一点,过P的直线l1,l2均与C相切,且l1,l2的斜率之积为m,记u为|PO|的最小值,求u的取值范围. 4.(2021·北京通州一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)点P是椭圆C上一点,且在第一象限内,过P作直线交y轴正半轴于A点,交x轴负半轴于B点,与椭圆C的另一个交点为E,且PA=AB,点Q是P关于x轴的对称点,直线QA与椭圆C的另一个交点为F. ①证明:直线AQ,AP的斜率之比为定值; ②求直线EF的斜率的最小值. 5.(2021·河北唐山三模)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C为动点,设△ABC的内切圆分别与边AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,记点C的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)不过原点O的直线l与曲线E交于M,N,且直线y=-x经过MN的中点T,求△OMN的面积的最大值. 6.(2021·河南九师联盟联考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点的坐标为(0,-1). (1)求椭圆C的方程; (2)点F为椭圆C的右焦点,过椭圆C上一点A(x1,y1)(x1y1≠0)的直线l1:x1x+2y1y=2与直线l2:x=2交于点P,直线AF交椭圆C于另一点B,设AB与OP交于点Q.证明: ①∠AFP=; ②Q为线段AB的中点. 专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 1.(1)解 由题意设l的方程为y+2=k(x-1), 与x2=4y联立得,x2-4kx+4k+8=0. 由Δ>0得k2-k-2>0,即k<-1或k>2. 又k>0,所以k的取值范围是(2,+∞). (2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由(1)可得x1+x2=4k. 由题意设m的方程为y+2=-k(x-1),与x2=4y联立得,x2+4kx-4k+8=0,得x3+x4=-4k. kAC=,同理kBD=, 因为kAC+kBD==0, 所以直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形. 2.解 (1)由抛物线定义,得|PF|=2+=3,得p=2, 故抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+4, 联立消去x,得x2-4kx-16=0, Δ>0,x1+x2=4k,x1x2=-16. 设A,B处的切线斜率分别为k1,k2,则k1=,k2=, 在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=,① 同理,在点B处的切线方程为y=,② 由①②得xQ==2k,代入①或②中可得yQ=kx1-=y1-4-y1=-4,故Q(2k,-4),即点Q在定直线y=-4上. 设点G关于直线y=-4的对称点为G',则G'(0,-12),由(1)知P(2,2), ∵|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|≥|G'P|=2,即P,Q,G'三点共线时等号成立, ∴△PQG周长的最小值为|GP|+|G'P|=2+2 3.解 (1)由题意可得2a=2,故a= 因为以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点,则b=c, b2+c2=2b2=a2=2,可得b=c=1,因此椭圆C的方程为+y2=1. (2)由题意可知,直线l1,l2的斜率存在且不为零, 设过点P(x0,y0)的切线l:y-y0=k(x-x0), 联立消去y可得(2k2+1)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0, 由于直线l与椭圆C相切,则Δ=16k2(y0-kx0)2-4(2k2+1)[2(y0-kx0)2-2]=0,化简并整理得(y0-kx0)2=2k2+1. 整理成关于k的二次方程得(-2)k2-2x0y0k+-1=0(易知x0≠±), 设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 易知k1,k2为关于k的二次方程(-2)k2-2x0y0k+-1=0的两根, 所以k1k2==m,=m+1-2m,所以,=(m+1)+1-2m, 故|PO|= 易知当x0=0时,有u=|PO|min= 因为-1≤m≤-,所以u, 即u的取值范围是[]. 4. ... ...