立体几何中的翻折及探索性问题突破练-2022届新高考数学二轮专题复习（Word含答案）

专题突破练　立体几何中的翻折及探索性问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2021江苏常州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,PC=,E为PD的中点. (1)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值; (2)设F是BE的中点,判断点F是否在平面PAC内,并证明结论. 2.如图1,在正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC边上的点,且BE=AF=2CF.点P为边BC上的点,将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面BEFC,连接A1B,A1P,EP,如图2所示. (1)求证:A1E⊥FP. (2)若BP=BE,点K为棱A1F的中点,则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行 若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由. 3.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,AP=PD,将△PAD沿AD折起使平面PAD⊥平面ABCD. (1)若M为PC上一点,且满足BM⊥PD,求证:PD⊥AM; (2)若二面角B-PC-D的余弦值为-,求AP的长. 4.如图1,已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,点E为AB中点.将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置,如图2所示. (1)求证:DE⊥平面PCF. (2)求证:平面PBC⊥平面PCF. (3)在线段PD,BC上是否分别存在点M,N,使得平面CFM∥平面PEN 若存在,请指出点M,N的位置,并证明;若不存在,请说明理由. 5.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,DC=AD=1,AB=2,∠PAD=45°,E是PA的中点,F在线段AB上,且满足=0. (1)求证:DE∥平面PBC. (2)求二面角F-PC-B的余弦值. (3)在线段PA上是否存在点Q,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是 若存在,求出AQ的长;若不存在,请说明理由. 6. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是AC与BD的交点,点E是线段OD1上的一点. (1)若点E为OD1的中点,求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值. (2)是否存在点E,使得平面CDE⊥平面CD1O 若存在,请指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. 7.如图所示的几何体中,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2,∠DAB=60°,四边形CDEF为正方形,平面CDEF⊥平面ABCD. (1)若点G是棱AB的中点,求证:EG∥平面BDF. (2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值. (3)在线段FC上是否存在点H,使平面BDF⊥平面HAD 若存在,求的值;若不存在,说明理由. 8.(2021福建泉州模拟)已知△ABC的各边长均为3,点D,E分别是AB,AC上的点,且满足,D为AB的三等分点(靠近点A)(如图1),将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使二面角A1-DE-B的平面角为90°,连接A1B,A1C(如图2). (1)求证:A1D⊥平面BCED. (2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60° 若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由 参考答案 1.解 (1)在直角梯形ABCD中,由已知可得AC=,CD=, ∴AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD, 又△APD是以AD为斜边的等腰直角三角形,∴PA=PD=,取AD中点O,连接OC,OP,则OC=OA=OD=OP=1, 则△OAP≌△OCP≌△ODP,∴∠POA=∠POC=∠POD, 又∠POA+∠POD=180°,∴∠POA=∠POC=∠POD=90°,∴OP⊥AD,OP⊥OC,而OC∩AD=O,∴OP⊥平面ABCD, 以A为原点,以AB,AD为x轴、y轴,过A平行于OP的直线为z轴建立空间直角坐标系A-xyz,如图, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,1,1), =(0,1,1),=(1,1,0),=(-1,1,1), 设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z), 则取y=-1,则x=z=1,即n=(1,-1,1), 设直线PB与平面PAC所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|= (2)点F在平面PAC内,证明:由(1)知E0,,F,=, 设=m+n,则解得 ,共面,∴点F在平面PAC内. 2.(1)证明 在正三角形ABC中,取BE的中点D,连接DF,如图所示. 因为BE=AF=2CF,所以AF=AD,AE=DE,而∠A=60°,所以△ADF为正三角形.所以EF⊥AD.所以在题图2中,A1E⊥EF,又A1E 平面A1EF,平面A1EF⊥平面BEFC, 且平面A1EF∩平面BEFC=EF,所以A1E⊥平面BEFC.又FP 平面BEFC,所以A1E⊥FP. (2)解 在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行. 理由如下: 如题图1,在正三角形ABC中,因为BP=BE,BE= ... ...