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课件网) 2.2.1 不等式及其性质 1.通过具体情境感受在现实生活中存在的大量不等关系,能用不等式(组)表 示不等关系. 2.掌握用作差法判断或证明两个实数(代数式)大小的方法. 3.理解不等式的性质及推论,能用不等式的性质及推论证明和解不等式. 2.2 不等式 比较实数a,b大小的依据 通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为⑤ 作差法 . 依据 如果① a-b<0 ,那么a
0 ,那么a>b 结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们 的差与④ 0 的大小关系即可 不等式的性质 性质1:如果a>b,那么a+c⑥ > b+c. 性质2:如果a>b,c>0,那么ac⑦ > bc. 性质3:如果a>b,c<0,那么ac⑧ < bc. 性质4:如果a>b,b>c,那么a>c. 性质5:a>b bc,那么a⑨ > c-b. 推论2:如果a>b,c>d,那么a+c⑩ > b+d. 推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac > bd. 推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1). 推论5:如果a>b>0,那么 > . 反证法 首先假设结论的 否定 成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假 设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的 方法. 综合法 综合法中,最重要的推理形式为p q,其中p是已知或者已经得出的结论,所以 综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.a>b是ac>bc的充分不必要条件. ( ) 当c=0时,a>b / ac>bc. 2.a>b是 > 的必要不充分条件. ( √ ) 3.若a3>b3,则a>b. ( √ ) 4.若ac2>bc2,则a>b. ( √ ) 中国某高中生暑假去加拿大旅行,中午在一景点吃比萨,他点了个直径为9英寸的 比萨.过了一会儿,服务员客气地端来了两份直径5英寸的比萨,说:“9英寸的比萨 卖完了,给您两个5英寸的,多送您1英寸表示歉意.” 这名中国高中生听后一愣,客气地请服务员叫来了店老板,说:“圆的面积公式为S =πr2,算下来9英寸的比萨面积约是63.59平方英寸,而5英寸的比萨面积约是19.63 平方英寸,两个5英寸的比萨面积加起来约是39.26平方英寸,你给我三个比萨我还 亏着呢!怎么能说多送我1英寸呢 ” 老板听后无语,最后给了他四个5英寸的比萨,并竖起大拇指道:“中国高中生真厉 害!” 利用不等式的性质比较两实数(代数式)的大小 问题 1.你能把服务员犯的错误用不等式表示出来吗 提示:服务员错误地认为:若a+b>c,则a2+b2>c2. 2.文中的高中生是如何比较出比萨的大小的 提示:用作差法比较比萨面积的大小. 作差比较法 作商比较法 依据 a-b>0 a>b; a-b<0 a0,b>0且 >1 a>b; a>0,b>0且 <1 a0,b>0且 =1 a=b 应用范围 数(式)的大小不明显,作差后可 化为积或商的形式 同号两数比较大小 步骤 ①作差; ②变形; ③判断符号; ④下结论 ①作商; ②变形; ③判断商与1的大小关系; ④下结论 变形技巧 ①分解因式; ②平方后再作差; ③配方法; ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 破疑典例 1.( )(1) 比较2+ 与4的大小; (2)比较(a+1)(a-4)与(a+3)(a-6)的大小; (3)设x,y是不全为零的实数,试比较2x2+y2与x2+xy的大小. 思路点拨: 作差 变形 判断符号 确定大小. 解析 (1)2+ -4= -2, 因为( )2-22=7-4=3>0,所以 -2>0,所以2+ >4. (2)因为(a+1)(a-4)-(a+3)(a-6)=(a2-3a-4)-(a2-3a-18)=14>0,所以(a+1)(a-4)>(a+3)(a-6). (3)2x2+y2-(x2+xy)=x2-xy+y2= + , 因为 ≥0, ≥0,当且仅当x=y=0时同时取等号,但x,y不全为零,所以 + >0, 所以2x2+y2>x2+xy. 2.( )已知0, 所以(a-b)· <0,故a3
