2021-2022学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.4 二项式定理 同步练习（Word含答案解析）

4.4 二项式定理（练习） 一．单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．） 1．的二项展开式的第三项为 A． B． C． D． 2．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为　 A． B． C． D． 3．已知的展开式中的各项系数之和为，则该展开式中的常数项为 A． B． C． D． 4．已知的展开式的常数项为，则 A． B． C． D． 5．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二 项式系数的最大值为，若，则 A． B． C． D． 6．的展开式的所有项的系数和为，则展开式中的系数为 A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，共6小题．） 7．在的二项展开式中，的系数为_____． 8．已知，则_____． 9．已知且，且能被整除，则_____． 10．已知为正整数，则_____． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 11．（本小题满分10分） 已知的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为． （1）求的值； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率． 12．（本小题满分12分） 已知，，其中． （1）求的值； （2）求（其中）的最大值． 4.4 二项式定理（练习）解析 一．单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．） 1．的二项展开式的第三项为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的二项展开式的第三项为．故选D． 2．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，所以，所以奇数项的二项式系数和为．故选A． 3．已知的展开式中的各项系数之和为，则该展开式中的常数项为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得的展开式中所有项系数和为，解得． 所以展开式中的常数项为： ．故选B． 4．已知的展开式的常数项为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的展开式的通项． 令，得，所以． 又，，，可得，．故选B． 5．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二 项式系数的最大值为，若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，又，所以， 即，即，解得．故选C． 6．的展开式的所有项的系数和为，则展开式中的系数为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得，所以． 由题意知即5个相乘，每个因式里都有可以选择，得到有三种情形：（1）5个因式都选择；（2）1个因式选择，3个因式选择，1个因式选择1；（3）2个因式选择，1个因式选择，2个因式选择1．所以含的项为．故选D． 二．填空题（每小题5分，共6小题．） 7．在的二项展开式中，的系数为_____． 【答案】 【解析】的展开式的通项， 令，解得，故的系数为． 8．已知，则_____． 【答案】 【解析】令，得， 令，得， 所以 ． 9．已知且，且能被整除，则_____． 【答案】 【解析】由 ， 其中能被整除， 要使得能被整除，只需能被整除，所以． 10．已知为正整数，则_____． 【答案】 【解析】记，……（1） 则 ……（2） 由（1）+（2），得 ， 所以，即． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 11．（本小题满分10分） 已知的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为． （1）求的值； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）展开式的通项为， 所以展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为， 所以，即，所以． （2）展开式共有项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共项， 所以由插空法可得有理项不相邻的概率为． 12．（本小题满分12分） 已知，，其中． （1）求的值； （2）求（其中）的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（ ... ...