龙岩市2021～2022学年第一学期期末高二教学质量检查 数学参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C A D C B D 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 9 10 11 12 答案 ABD AC BC AC 12．简析：易知，故A正确 B选项：，故B错误 C选项： ，所以C正确 D选项： ，故D错误 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．6 14． 15． 16．54 16．简析：由已知可得：， ∴－1＋－＋…＋－＝－1， ∴[S1]＝[S2]＝0，[S3]＝[S4]＝[S5]＝[S6]＝[S7]＝1，[S8]＝[S9]＝…＝[S14]＝2，[S15]＝[S16]＝…＝[S23]＝3，[S24]＝[S25]＝4， ∴[S1]＋[S2]＋…＋[S25]＝2×0＋5×1＋7×2＋9×3＋2×4=54. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分） 解：（1）设，由题意，得： ，………………2分 化简得，………………4分 所以点的轨迹方程为 ………………5分 （2）方法一:设，因为点与点关于点对称， 则点坐标为，……………7分 因为点在圆，即上运动， 所以， 所以点的轨迹方程为，……………8分 所以两圆的圆心分别为，半径均为2， 则.……………10分 方法二:由可得： 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆……………6分 轨迹的圆心到直线的距离为：……………8分 ……………10分 18．（本题满分12分） 解：（1）当时， ……………………1分 当时， ……………3分 为等比数列，满足上式， ………5分 ……………………6分 ① ② ……………………8分 ②得 ……………………11分 ……………………12分 19．（本题满分12分） 解：（1）由已知可得：甲、乙两人共付费6元，则甲、乙一人付费2元一人付费4元，…2分 又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选， ……………4分 所以甲、乙下地铁的方案共有(3×4)×2＝24(种)． ……………6分 （2）甲、乙两人共付费8元，则甲、乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元； 当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10,11,12五种选择，此时，共有35=15（种）方案；……………………8分 当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5,6,7站下地铁，有3种方案； 若甲在第5站下地铁，则乙可在第6,7站下地铁，有2种方案；若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案；………………11分 综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）. ………………12分 20．（本题满分12分） 解：（1）由题意得，，解得＝2p，……………2分 因为点M(，4)在抛物线C上， 所以42＝2p＝4p2，解得p＝2， 所以抛物线C的标准方程为．…………………4分 （2）方法一：由已知得，直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为， 与抛物线方程联立并消去得：，…………………5分 因为直线与抛物线C相切， 所以，得，，……………7分 所以，得，……………8分 在中，令得，所以，……………9分 所以线段中点为，线段的中垂线方程为，……11分 所以线段的中垂线过定点.……………12分 方法二：由已知得，直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为， 与抛物线方程联立并消去得：，……………5分 因为直线与抛物线C相切， 所以，得，……………7分 所以，得，……………8分 在中，令得，所以，……………9分 所以线段中点为，线段的中垂线方程为，……11分 所以线段的中垂线过定点.……………12分 21．（本题满分12分） 解：（1）证明：当时， 得到 ……………………2分 当时， 是以4为首项，2为公差的等差数列 当时 ……………………5分 当时，也满足上式， ……………………6分 （2） ……………………8分 令， 当， 因此的最小值为，的最大值为 …………10分 对 ... ...
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