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课件网) 课题：勾股定理的逆定理 A C B 操作 每个同学的桌上有一段12cm长的线，请同学量出4cm，用大头钉固定好把生下的线分成5cm和3cm两段拉紧固定，用量角器量出最大角的度数。 勾股定理的逆命题 如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 已知： 求证： 证明： 在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 △ ABC是直角三角形 画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b a b A’ B’ C’ ∵ ∠ C’=900 ∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A’B’ 2=c2 ∴ A’B’ =c ∵ 边长取正值 ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∴ ∠ C= ∠ C’(全等三角形对应角相等） ∴ ∠C= 900 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’ a b B' C' A' 已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形 证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b 在△ ABC和△ A’B’C’中 ∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义） 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （1）上述结论中，哪条边所对的角是直角？ （2）如果三角形中较短两边的平方和不等于 最长的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 例1.根据下列条件,分别判断以a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形 (1)a=7,b=24,c=25; (2)a= ， b=1,c= . 练习一 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 _____ _____ (3) a=41 b=9 c=40 _____ _____ (4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ 是 是 是 是 ∠ A=900 ∠ B=900 ∠ A=900 ∠ C=900 (2) a=1 b=2 c= _____ _____ 例2 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） 则△ABC是直角三角形 解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） ∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2 =c2 ∴△ABC是直角三角形。 课堂练习： 一判断题. 1. ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___. (2)若a=9,b=40,则c=_____. 2.在 ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则 ABC面积为_____,斜边为上的高为_____. 例1 已知:在△ ABC中, AB=15cm，AC=20cm， BC=25cm，AD是BC边上的中线。求: AD的长。 解： ∵ AB=15cm，AC=20cm，BC=25cm ∴ AB2+AC2=225+400=625 BC2=625 ∴ AB2+AC2=BC2 ∵ ∠ BAC=900(勾股定理的逆定理） ∴ AD= BC= cm (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∵ S △ ABC= AC AB = BC AE ∴ AD= 已知:在△ ABC中, AB=15cm，AC=20cm， BC=25cm，AD是BC边上的高。 求: AD的长。 练习 已知:在△ ABC中, AB=15cm，AC=20cm， BC=25cm，AD是BC边上的中线。求: AD的长。 解： ∵ AB=15cm，AC=20cm，BC=25cm ∴ AB2+AC2=225+400=625 BC2=625 ∴ AB2+AC2=BC2 ∵ ∠ BAC=900(勾股定理的逆定理） 如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中 点，且CE= BC，则AF⊥EF，试说明理由 解：连接AE ∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC ∴根据勾股定理，在 Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF 求：（1） S四边形ABCD。 CD= cm, AD=2cm, AC⊥AB。 已知：在四边形ABCD中，AB=3cm, BC=5cm, 例2 ∵AC⊥AB(已知) ∴ AC2+AB2=BC2(勾股定理) ∵ AB=3cm,BC=5cm 又∵CD=2 cm AD=2cm(已知) ∴ AC2=16 , CD2+AD2=12+4=16 ∴ AC2=CD2+AD2 ∴ ∠ADC=900(勾股定理的逆定理 ∴ S四边形ABCD=S △ ABC+ S△ ACD ∴ = ×3 × ... ...
