证明不等式的基本策略

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知求证： 证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+. 证明：由f(n)= =1- 得f（1）+f（2）+…+f（n）> . 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 例3、已知an=n ，求证：＜3． 证明：=＜1＋ ＜１＋= =1＋ (－) =1＋1＋－－＜2＋＜3． 本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标. 4、放大或缩小“因式”； 例4、已知数列满足求证： 证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明. 5、逐项放大或缩小 例5、设求证： 证明：∵ ∴ ∴ ， ∴ 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。 6、固定一部分项，放缩另外的项； 例6、求证： 证明： 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 7、利用基本不等式放缩 例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立. 证明：要证，只要证 . 因为 ，， 故只要证 ， 即只要证 . 因为， 所以命题得证. 本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可. 8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n. (1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m 证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)， ， 由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有， 所以 (2)由二项式定理有： (1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn， (1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm， 由(1)知miA＞niA (1＜i≤m＜n ，而C= ∴miCin＞niCim(1＜m＜n ∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…， mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0， ∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm， 即(1+m)n＞(1+n)m成立. 以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法， ... ...