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课件网) 湘教版数学选择性必修一 4.3 组合（二） 知识回顾 一般地，从n个不同元素中取出m（ ）个不同元素，不论次序地构成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从n个不同元素中取出m（ ）个不同元素，所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符合 表示。 组合数的计算公式 (1) (2) (3) (4) , (5) , (6) 例1. 10件产品中有合格品8件，次品2件，从中抽取4件，计算： （1）都不是次品的取法共有多少种？ （2）至少有1件次品的取法共有多少种？ 解：（1）从合格品中取4件，有 种 （2）直接法：分两类1件次品和2件次品 取出来的有1件次品的取法总数为： ； 取出来的有2件次品的取法总数为： 所以共有112+28=140种取法 间接法：10件产品抽取4件有 种取法 全部为合格品有 种 所以共有210-70=140种取法 例2．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本. 解：（1）根据分步计数原理得到： 种 (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法．根据分步计数原理可得 ． 所以 ． 因此，分为三份，每份两本一共有15种方法. 点评： 本题是分组中的“均匀分组”问题． 一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有 种方法 例2．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； 解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有 种方法． （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 种方法． 例题解读： 例2．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有 种方法； ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； ③“1、1、4型”，有 种方法， 所以，一共有90+360+90＝540种方法． 例题解读： 元素相同问题隔板策略 例3.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_____种分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 例4、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个， 共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名额数不少于 班级序号数，共有多少种不同的分配方法？ 分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可 构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙， 既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的 指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指 标，以此类推，因此共有 种分法. 例题解读： （2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班， 每班至少一个.由（1）可知共有 种分法 注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有 种分法. 例题解读： 例题 例4.两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获 ... ...
