正方形 【教学目标】 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算。 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力。 【教学重难点】 1．重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。 2．难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用。 【教学过程】 一、例题的意图分析 本节课安排了三个例题，其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质。例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形。随后可以再做一组判断题，进行练习巩固，为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考： 1．对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ 2．对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ 3．对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ 4．能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ 5．说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 二、课堂引入 1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形。 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系。问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形（矩形） 2．问题：正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形。 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。 三、例习题分析 例1：求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）。 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）。 ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO。 例2：已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F。求证：OE=OF。 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得。 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）。 又DG⊥AE， ∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°。 ∴∠EAO=∠FDO。 ∴△AEO ≌△DFO。 ∴OE=OF。 例3：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点。 求证：四边形PQMN是正方形。 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP。即可证出MN=NP。从而得出结论。 证明： ∵PN⊥l1，QM⊥l1， ∴PN∥QM，∠PNM=90°。 ∵PQ∥NM， ∴四边形PQMN是矩形。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）。 ∴∠1+∠2=90°。 又∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3． ∴△ABM≌△DAN。 ∴AM=DN。 同理 AN=DP。 ∴AM+AN=DN+DP 即MN=PN。 ∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 四、随堂练习 1．正方形的四条边__ ... ...
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