2.3.3 直线与平面和平面与平面垂直的性质 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 直线与平面和平面与平面垂直的性质 【学习目标】 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理. 2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题. 3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系． 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？21cnjy.com 答案　平行． 梳理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a∥b 图形语言 知识点二　平面与平面垂直的性质定理 思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．21教育网 梳理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β 图形语言 类型一　直线与平面垂直的性质定理 例1　如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. 证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 反思与感悟　证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a α，a⊥AB.求证：a∥l. 证明　∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB. ∴a∥l. 类型二　平面与平面垂直的性质定理及应用 例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 证明　如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB. ∴AD⊥平面PBC. 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB 平面PAB，∴BC⊥AB. 反思与感悟　证明线面垂直 出卷网，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线． 跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在 出卷网平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．21·cn·jy·com 求证：(1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. 证明　(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面PBG，又PB 平面PBG，∴AD⊥PB. 类型三　垂直关系的综合应用 例3　如图，在四棱锥P－ABC 出卷网D中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明　(1)∵ ... ...