3.3.2 点到直线与两条平行直线间的距离 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 点到直线与两条平行直线间的距离 【学习目标】 1.了解点到直线距离公式的推导方法. 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题. 3.初步掌握用解析法研究几何问题． 知识点一　点到直线的距离 思考1　如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？21世纪教育网版权所有 答案　d＝. 思考2　根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？ 答案　d＝. 思考3　点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案　仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即y＝－，d＝|y0＋|＝，适合公式． ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝|x0＋|＝，适合公式． 梳理　点到直线的距离 (1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)图示： (3)公式：d＝. 知识点二　两条平行直线间的距离 思考　直线l1：x＋y－1 出卷网＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？21教育网 答案　点A、B、C到直线l2的距离分别为、、.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．21cnjy.com 梳理　两条平行直线间的距离 (1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长． (2)图示： (3)求法：转化为点到直线的距离． (4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. 类型一　点到直线的距离 例1　(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离． ①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3. 解　①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0， 点P(2，－3)到该直线的距离为 ＝； ②3y＝4可化为3y－4＝0， 由点到直线的距离公式得＝； ③x＝3可化为x－3＝0， 由点到直线的距离公式得＝1. (2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程． 解　方法一　当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x＝－1， 恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等， 故x＝－1满足题意， 当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0. 由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得 ＝，解得k＝－， 此时l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 方法二　由题意得l∥AB或l过AB的中点， 当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB， 直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝＝－， 此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 反思与感悟　(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．21·cn·jy·com (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意． 跟踪训练1　(1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是_____． (2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为_____． 答案　(1)[，]　(2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 解析　(1)由题意知≤3， 解得≤a≤，故a的取值范围为[，]． (2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)， 即kx－y＋4－3k＝0， 由已知得＝， ∴k＝2或k＝－， ∴所求直线l的方程为 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0. 类型二　两平行线间的距离 例2　(1)两直线3x＋y－3 ... ...