4.1.2 圆的一般方程 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 圆的一般方程 【学习目标】 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 知识点　圆的一般方程 思考1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 答案　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆， 对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形． 思考2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？ 答案　对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得 (x＋)2＋(y＋)2＝， ①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径长的圆； ②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点(－，－)； ③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 梳理 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－) D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 类型一　圆的一般方程的概念 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 解　由表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<， 即实数m的取值范围为(－∞，)． 圆心坐标为(－m,1)，半径为. 反思与感悟　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法 (1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．21世纪教育网版权所有 跟踪训练1　(1)已知a∈R，方程a2x2＋ 出卷网(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为_____，半径为_____．21教育网 (2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____． 答案　(1)(－2，－4)　5　(2)9π 解析　(1)由圆的一般方程的形式知， a＋2＝a2，得a＝2或－1. 当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0， ∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0， ∴a＝2不符合题意． 当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， ∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5. (2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－，－1)， 由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， ∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3， ∴该圆的面积为9π. 类型二　求圆的一般方程 例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解　(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 引申探究 若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？21cnjy.com 解　∵kAB＝＝，AB的中点坐标为(，)， ∵AB的垂直平分线方程为y－＝－3(x－)． 联立得 即圆心C的坐标为(，－)， r＝ ＝ ， ∴圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝. 反思与感悟　应用待定系数法求圆的方程时应注意 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.21·cn·jy·com (2)如果已知条件与圆心和半径都 ... ...