1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 柱体、锥体、台体的表面积 【学习目标】 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．21教育网 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 思考1　正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？ 答案　相等． 思考2　棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？ 答案　是． 梳理　 图形 表面积 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积 思考1　圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 答案　S侧＝2πrl， S表＝2πr(r＋l)． 思考2　圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 答案　底面周长是2πr，利用扇形面积公式得 S侧＝×2πrl＝πrl， S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 思考3　圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 答案　如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长， 如图，＝，解得 x＝l. S扇环＝S大扇形－S小扇形 ＝(x＋l)×2πR－x·2πr ＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l， 所以S圆台侧＝π(r＋R)l， S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 梳理　 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 类型一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 例1　(1)如图所示，在斜三棱柱 出卷网ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.侧棱长为b，则其侧面积为(　　)2·1·c·n·j·y A.ab B.ab C．(＋)ab D.ab 答案　C 解析　斜棱柱的侧面积等于各个侧 出卷网面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB＝AC＝a，∴BC＝a.【来源：21·世纪·教育·网】 ∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，AA1＝b， ∴＝absin 60°＝ab. 又∵∠BB1C1＝90°，∴侧面BB1C1C为矩形， ∴＝ab， ∴S斜三棱柱侧＝ab＋ab＋ab＝(＋)ab. 故选C. (2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．2-1-c-n-j-y 解　如图，E、E1分别是B 出卷网C、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，21*cnjy*com 则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3. 过E1作E1H⊥OE，垂足为H， 则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153， 所以E1E＝3. 所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3＝108. 引申探究 本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？ 解　如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P. 取B1C1、BC的中点E1、E，则EE 出卷网1的延长线必过P点．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，21·cn·jy·com 且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6， 则有＝＝， 即＝，所以PO1＝O1O＝12. 在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝153， 在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612， 所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3. 所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E ＝2×(12＋6)×3＝108. 反思与感悟　棱锥及棱台的 ... ...