第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 学习目标 1.会用坐标法计算空间向量的数量积，会判断空间向量的垂直，会求空间两向量的夹角.2.理解空间两点间距离公式的推导方法.3.掌握空间两点间的距离公式及简单应用． 导语 对于平面内两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？ 一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 问题1 设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？ 提示 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，证明推导过程如下： 设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则 a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k， b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k. a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k) ＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j ＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 知识梳理 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|cos〈a，b〉 x1x2＋y1y2＋z1z2 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a|＝ 夹角余弦 cos〈a，b〉＝ 注意点： (1)数量积的结果为数量． (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 例1 (1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝_____. 答案 －4 解析 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． ①求证：EF⊥B1C； ②求cos〈，〉； ③求||. ①证明 如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G， ＝－＝， ＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)． ∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. ②解 因为＝－(0,1,1) ＝. 所以||＝. 又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝， 所以cos〈，〉＝＝. ③H， ＝－＝. ∴||＝＝. 反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 跟踪训练1 已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c. (1)求x，y，z的值； (2)求向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值． 解 (1)∵a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)， 且a∥b，b⊥c， ∴ 解得 (2)由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)， ∴a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)． ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝， |b＋c|＝＝. ∴向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值为 ＝. 二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 问题2 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示 如图，建立空间直角坐标系O－xyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， 于是||＝ ＝， 所以P1P2＝|| ＝， 因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝. 问题3 如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？ 提示 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点为P，则＝(＋)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝. 知识梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)AB＝||＝. (2)线段AB的中点M的坐标为. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)空间两 ... ...
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