6.3.3 空间角的计算 学习目标 1.会用向量法求线线角、线面角、二面角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.3.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系． 导语 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来． 一、两条异面直线所成的角 知识梳理 (1)设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝. (2)两条异面直线所成角的范围是. 注意点： 两条异面直线所成角的范围是，两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 例1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角． 解 分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 设AB＝1，则B(0,0,0)，E， F，C1(0,1,1)， 所以＝， ＝(0,1,1)． 于是cos〈，〉＝＝＝， 所以直线EF和BC1所成角的大小为60°. 反思感悟 运用向量法常有两种途径 (1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式cos〈a，b〉＝求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用基向量表示出来，再求有关的量． (2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 跟踪训练1 已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案 C 解 连接AC，BD交于点O，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，设四棱锥S－ABCD的棱长为，则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点的坐标为， ＝，＝(－1,0，－1)， ∴cos〈，〉＝＝＝－， 故异面直线AE，SD所成角的余弦值为. 二、直线与平面所成的角 问题 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是否是直线与平面所成的角？ 提示 不是． 知识梳理 设直线AB与平面α所成的角为θ， 直线AB的方向向量为e，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈e，n〉|＝. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 例2 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小． (1)证明 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)． 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， 又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点， ∴N，M，S， ＝，＝， ∴·＝·＝0， ∴⊥，∴CM⊥SN. (2)解 由(1)知，＝， ＝， 设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， ∴·a＝0，·a＝0. 则∴ 取y＝1，得a＝(2,1，－2)． 设SN与平面CMN所成的角为θ， ∵sin θ＝|cos〈a，〉|＝＝＝. ∴SN与平面CMN所成角的大小为. 反思感悟 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值． 解 以A为原点，建立 ... ...
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