§7.1 两个基本计数原理 第1课时 分类计数原理与分步计数原理 学习目标 1.了解分类计数原理与分步计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 导语 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？ 一、分类计数原理 第24届冬奥会将于2022年2月2日在北京举行，某志愿者要从济南赶赴北京为游客提供导游服务．假如当天适合他出行的航班有6个，高铁有14列． 问题1 该志愿者从济南到北京的方案可分几类？ 提示 两类，即乘飞机、坐高铁． 问题2 这几类方案中各有几种方法？ 提示 第1类方案(乘飞机)有6种方法，第2类方案(坐高铁)有14种方法． 问题3 该志愿者从济南到北京共有多少种不同的方法？ 提示 共有6＋14＝20(种)不同的方法． 知识梳理 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 注意点： 理解分类计数原理的关键点 (1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②怎样才算完成这件事；③完成这件事可以有哪些方案． (2)独立性：①完成这件事的n类方案是相互独立的；②每一类方案中的方法都可以单独完成这件事，不需要用到其他的方法． (3)分类：这是利用分类计数原理解题的关键，①分类必须明确标准，一般地，分类标准不同，分类的结果也不同；②每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；③每一类中的任意两种方法也不相同． 例1 某校高三共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解 (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案． 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法． 根据分类计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法． (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案． 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法． 根据分类计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法． 反思感悟 利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类，然后对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数． 跟踪训练1 设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有_____个． 答案 6 解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1,2,3； 当m＝3时，n＝1,2； 当m＝2时，n＝1， 即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)． 二、分步计数原理 若这名志愿者从济南赶赴张家口赛区为游客提供导游服务，但需在北京中转，假如当天从济南到北京适合他出行的航班有6个，从北京到张家口的高铁有8列． 问题4 该志愿者从济南到张家口需要经历几个步骤？ 提示 两个，即先乘飞机到北京，再坐高铁到张家口． 问题5 完成每 ... ...
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