高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 7.3 第2课时 组合数的性质及应用（学案+课时练 word版含解析）

第2课时　组合数的性质及应用 学习目标　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题． 导语 对一次学校运动会中的两个特定项目：趣味投羽毛球、3 000米长跑，某班级50位同学必须参加其中一个项目且仅参加一个项目(每一位同学可以在两个项目中任选一个，要求17人参加3 000米跑，其余人参加投羽毛球项目)，假设你是班级体育委员，你能算出所有可能的报名情况吗？ 一、组合数的性质1 问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 提示　上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56. 知识梳理 组合数的性质1：C＝C. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想． (2)两边下标相同，上标之和等于下标． 例1　(1)计算：C＝_____，C·C＝_____. 答案　2 022　 解析　C＝C＝2 022，C·C＝C·C＝. (2)(多选)若C＝C(n∈N*)，则n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　BD 解析　由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或n＝7. 反思感悟　性质“C＝C”的意义及作用 跟踪训练1　(1)若C＝C，则C等于(　　) A．1 B．10 C．11 D．55 答案　C 解析　由C＝C，得n＝6＋5＝11，C＝C＝C＝11. (2)若C＝C，则C＝_____. 答案　28 解析　由C＝C， 得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18， 解得n＝2或n＝8(舍去)， 故C＝28. 二、组合数的性质2 问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示　一样，C＝C＋C. 知识梳理 组合数的性质2：C＝C＋C. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数． (2)体现了“含”与“不含”的分类思想． 例2　(1)已知m≥4，C－C＋C等于(　　) A．1 B．m C．m＋1 D．0 答案　D 解析　C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0. (2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 答案　D 解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C. 延伸探究　若将本例(2)中式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？ 解　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C ＝C＋C＋…＋C－1 … ＝C＋C－1＝C－1. 反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用． 跟踪训练2　(1)若C－C＝C，则n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　C 解析　C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，n＝14. (2)C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 答案　B 解析　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C. 三、有限制条件的组合问题 例3　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员． 解　(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120(种)选法． (2)方法一　(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(种)选法． 方法二　(间接法)不考虑条件 ... ...