§7.4 二项式定理 第1课时 二项式定理 学习目标 1.理解二项式定理的相关概念.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 导语 艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643－1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理 问题1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步计数原理解释展开式中的项是如何产生的？ 提示 展开式中的每一项都是从两个括号中各取1个字母的乘积． 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即 a2－kbk的系数是C. 问题2 你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？ 提示 (a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3. 知识梳理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫作二项式定理． (2)二项展开式：等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项． (3)二项式系数：C(r＝0,1，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数． (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第r＋1项称为二项式通项，记作Tr＋1＝Can－rbr. 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止． (3)a与b的位置不能交换． (4)Can－rbr表示的是第r＋1项． 例1 求4的展开式． 解 方法一 4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. 反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． 跟踪训练1 求5的展开式． 解 方法一 5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二 5＝ ＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5] ＝32x5－120x2＋－＋－. 二、二项展开式通项的应用 角度1 二项式系数与项的系数 例2 在二项式10的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)第4项的系数． 解 10的展开式的通项是 Tr＋1＝C(3)10－rr＝C310－rr· (r＝0,1,2，…，10)． (1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为C＝120. (2)展开式的第4项的系数为C373＝－77 760. 反思感悟 (1)二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C(r∈{0,1,2，…，n})．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280. 跟踪训练2 已知n的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求第三项的二项式系数及项的系数； (2)求含x项的系数． 解 (1)∵前三项系数1，C， ... ...
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