高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 8.2.2 第1课时 离散型随机变量的均值（学案+课时练 word版含解析）

8.2.2　离散型随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 导语 德·梅累向帕斯卡提出问题：甲乙两人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励．比赛三局过后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平，让双方都能欣然接受？也就是甲和乙的期望所得分别是多少呢？ 一、离散型随机变量的均值 问题1　某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的概率分布吗？ 提示　＝18×＋24×＋36×＝23(元/kg)． ξ的概率分布为 ξ 18 24 36 P 知识梳理 一般地，若离散型随机变量X的概率分布表为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，将随机变量X的均值或数学期望记为E(X)或μ，则E(X)＝μ＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn. 注意点： (1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数． (2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平． 例1　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布和均值． 解　X的可能取值为1,2,3,4，则P(X＝1)＝0.6， P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28， P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096， P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024， 所以在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 反思感悟　求随机变量X的均值关键是写出概率分布，一般分为四步： (1)确定X的可能取值； (2)计算出P(X＝k)； (3)写出概率分布； (4)利用E(X)的计算公式计算E(X)． 跟踪训练1　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的概率分布与均值． 解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”， 则X的可能取值为－4,1,3,6. ∴P(X＝－4)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋×× ＝， P(X＝3)＝××＋××＋×× ＝， P(X＝6)＝××＝＝. ∴X的概率分布为 X －4 1 3 6 P ∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝. 二、离散型随机变量均值的性质 问题2　若X，Y都是一离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？ 提示　X，Y的分布列为 X x1 x2 … xi … xn Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b. 知识梳理 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X ... ...