第2课时 离散型随机变量的方差与标准差 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 导语 在一次选拔赛中，甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4，0.2，0.4.如果你是教练，如何比较两名射手的射击水平，选拔谁呢？通过本节课的学习，我们就会得到答案． 一、离散型随机变量的方差与标准差 问题1 A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？ 提示 E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44. E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性． 知识梳理 设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1. (1)方差：D(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn. (2)方差的变形公式：D(X)＝pi－μ2. (3)标准差：σ＝. (4)意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度． 注意点： (1)离散型随机变量的方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． (2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同． 例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差． 解 由题意，得X的所有可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝×＝. P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝. 故X的概率分布为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝. ∴σ＝＝. 反思感悟 求离散型随机变量的方差的方法 (1)根据题目条件先求概率分布． (2)由概率分布求出均值，再由方差公式求方差，当概率分布中的概率值是待定常数时，应先由概率分布的性质求出待定常数再求方差． 跟踪训练1 已知随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 解 E(ξ)＝0.1×0＋0.2×1＋0.3×2＋0.4×3＝2， 所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1， σ＝＝＝1. 二、离散型随机变量方差的性质 问题2 若随机变量X的方差为D(X)，Y＝aX＋b(a，b为常数)，你能推导出D(X)与D(Y)的关系吗？ 提示 E(Y)＝aE(X)＋b，∴D(Y)＝D(aX＋b)＝[ax1＋b－aE(X)－b]2p1＋[ax2＋b－aE(X)－b]2p2＋…＋[axn＋b－aE(X)－b]2pn＝[ax1－aE(X)]2p1＋[ax2－aE(X)]2p2＋…＋[axn－aE(X)]2pn＝a2D(X)． 知识梳理 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)D(c)＝0(其中c为常数)． 例2 已知随机变量X的概率分布为 X 0 1 x P p 若E(X)＝. (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求的值． 解 由概率分布的性质，得＋＋p＝1， 解得p＝， ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝，∴x＝2. (1)D(X)＝2×＋2×＋2×＝＝. (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5， ∴＝. 延伸探究 随机变量X的取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(5X－1)＝_____. 答案 10 解析 设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q， 则E(X)＝0×＋p＋2q＝1，① 又＋p＋q＝1，② 由①②得，p＝，q＝， ∴D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.则D(5X－1)＝52×＝10. 反思感 ... ...
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