8.2.3 二项分布 第1课时 二项分布 学习目标 1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布的概率表达形式.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 导语 某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一板木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为，20×不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上．那么这个学生的运气如何呢？ 一、n重伯努利试验 问题1 观察下面试验有什么共同的特点？ (1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5； (2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； (3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次． 提示 ①相同条件下的试验：5次、10次、6次； ②每次试验相互独立； ③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生； ④每次试验发生的概率相同为p ，不发生的概率也相同，为1－p. 知识梳理 我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． 例1 判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 解 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验． 反思感悟 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生． 跟踪训练1 (多选)下列事件不是n重伯努利试验的是( ) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 答案 ABC 解析 A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验． 二、二项分布的推导 问题2 (1)连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 提示 连续掷一枚图钉3次，就是做3重伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次掷得针尖向上的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. (2)类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？ 提示 用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”， 用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”， P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3， P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝3q2p＝Cp1q2， P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2＝Cp2q1， P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0， 规律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3. 知识梳理 二项分布 (1)若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． (2)当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，σ＝. 注意点： (1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1. (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项 ... ...
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