石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷 高三数学（理） 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合，,,则（ ） A． B． C． D． 2. 若复数, ,则（ ） A． B． C． D． 3．为平行四边形的一条对角线，（ ） A． B． C． D． 4. 设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则⊥ D．若，则 5．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个 不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． B． C． D． 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为， 即，．给出如下四个结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 整数属于同一“类”的充要条件是“”． 其中，正确结论的个数为（ ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则 ； 若点，则 的最大值为 . 10．如右图，从圆外一点引圆的割线和， 过圆心，已知， 则圆的半径等于 ． 11．在等比数列中，，则公比 ； ． 12． 在中，若，则边上的高等于 ． 13．已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 14. 给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①的定义域是，值域是； ②点是的图像的对称中心，其中； ③函数的最小正周期为； ④ 函数在上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 已知函数． （Ⅰ）求的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值． 16．（本小题共14分） 如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2． （Ⅰ）求证： 平面； （Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值； （Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值． 17．（本小题共13分） 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望. 18．（本小题共13分） 已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 19．（本小题共14分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数． 20．（本小题共13分） 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”． （Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的 “保三角形函数”，求的取值范围； （Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列； （Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项? (解题中可用以下数据 :) 石景山区2012—2013学年第一学期期 ... ...
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