2013年北京市1月各区期末理数试题分类汇编立体几何

2013年北京市1月重点城区期末理数试题分类汇编立体几何（教师版） （2013·石景山1月·16）如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2． （Ⅰ）求证： 平面； （Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值； （Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值． 16．（本小题共14分） （Ⅰ）证明： 在△中， .又. 由 . …………………………4分 （Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分 ． 设为平面的一个法向量， 因为 所以， 令，得. 所以为平面的一个法向量． ……………………7分 设与平面所成角为． 则． 所以与平面所成角的正弦值为． …………………9分 （Ⅲ）设,则 …………………12分 当时, 的最小值是． 即为中点时, 的长度最小,最小值为． …………………14分 （2013·西城1月期末理科·16）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面， 为棱的中点． （Ⅰ）求证：// 平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． （Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结． 因为四边形为正方形，所以为中点． 因为 为棱中点． 所以 ． ………………3分 因为 平面，平面， 所以直线//平面． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面，所以． ………………5分 因为四边形为正方形，所以， 所以平面． ………………7分 所以平面平面． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面内过作直线． 因为平面平面，所以平面． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………9分 设，则． 所以 ，． 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………11分 易知平面的法向量为． ………………12分 所以 ． ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为． ………………14分 解法二：取中点，中点，连结，． 因为为正方形，所以． 由（Ⅱ）可得平面． 因为，所以． 由两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系． ………………9分 设，则． 所以 ，． 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………11分 易知平面的法向量为． ………………12分 所以． ………13分 由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为． ………………14分 （2013·东城1月期末理科·17）如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，． （Ⅰ）求证：⊥； （Ⅱ）求证： // 平面； （Ⅲ）求二面角的大小. （17）（共14分） 解：（Ⅰ）连结，则. 由已知平面， 所以. 因为， 所以平面.……………………2分 又因为平面， 所以.……………………4分 （Ⅱ）设与交于，连结. 由已知可得四边形是平行四边形， 所以是的中点. 因为是的中点， 所以.…………………………6分 又平面， 平面， 所以平面. ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得. 如图建立空间直角坐标系，则，, ， . ，.…………………………………………10分 设平面的法向量为. 则 所以 令. 所以.……………………………………………………………12分 又平面的法向量， 所以. 所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分 （2013·海淀1月期末理科·17） 如图，在直三棱柱中，， 是中点. （I）求证：平面； （II）若棱上存在一点，满足，求的长； （Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. (I) 连接交于点，连接 因为为正方形，所以为中点， 又为中点，所以为的中位线， 所以 ………………2分 又平面，平面 所以平面 ………………4分 （Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 　所以 设，所以， 因为，所以，解得，所以………………8分 （Ⅲ）因为， 设平面的法向量为， 则有，得， 令则，所以可以取，………………10分 因为平面,取平面 ... ...