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课件网) 5.2 导数的计算 5.2.1 基本初等函数的导数 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的. 由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数. 本节我们就来研究这些问题. 根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数，就是求出当 x→0时， 无限趋近的那个定值. 下面我们求几个常用函数的导数. 前面我们学习了导数的定义，并且会用定义求函数在某一点处的导数，那么由导数定义求函数y=f(x)的导数的步骤是： ①求平均变化率： ②取极限，得导数： 下面我们根据定义来求一些常见函数的导数. 1. 函数y=f(x)=c的导数 即 若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一 直处于静止状态. 也就是说任意一个常数的导数是0. x y y=c O 即 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. x y y=x O 2. 函数y=f(x)=x的导数 即 若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 3. 函数y=f(x)=x2的导数 y′= 2x表示函数y=x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x, 说明随着x的变化, 切线的斜率也在变化. y′= 2x表明: 当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y=x2减少得越来越慢； 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大， y=x2增加得越来越快. x y y=x2 O 即 4. 函数y=f(x)=x3的导数 y′= 3x2表示函数y=x3的图象上点(x, y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. x y y=x3 O 即 5. 函数y=f(x)= 的导数 探究 画出函数 的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1, 1)处的切线方程. x y O 即 6. 函数y=f(x)= 的导数 基本初等函数的导数公式： 基本初等函数的导数公式 例1 求下列函数的导数: 解： 1. 求下列函数的导数: 解： 课本P75 1. 求下列函数的导数: 解： 课本P75 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课本P75 解： 课本P75 解： 课本P75 例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年) 解： 例3 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 变式 求曲线y＝ln x的过点O(0，0)的切线方程． 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． √ √ √ 小结：基本初等函数的导数公式： ... ...
