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课件网) 4.2 导数的乘法与除法法则 第二章 §4 导数的四则运算法则 1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则. 2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数. 学习目标 我们前面学习了导数的加法与减法法则，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的积、商的导数呢？与加法、减法法则类似吗？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、导数的乘法与除法法则及其简单应用 二、求较复杂函数的导数 三、与切线有关的问题 内容索引 一、导数的乘法与除法法则及其简单应用 问题 已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2. (1)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？ 提示 不成立. 因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3. (2)能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？ 提示 能. 因为f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，[f(x)g(x)]′＝5x4， 所以[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)对于其他函数还满足上述关系吗？ 提示 满足. 知识梳理 导数的乘法与除法法则 (1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则 [f(x)g(x)]′＝ . f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (2)[kf(x)]′＝ ，k∈R. kf′(x) 注意点： (1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和； 的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方. 例1 求下列函数的导数： (1)y＝x·sin x； 解 y′＝sin x＋xcos x. (2)y＝(x－1)(x－2)； 解 y′＝1×(x－2)＋(x－1)×1＝2x－3. 反思感悟 简单导数运算的关注点 前提：基本初等函数的导数公式. 关键：理解并掌握求导法则. 解 y′＝4(x－2)＋4x＝8x－8. 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y＝4x(x－2)； (2)y＝xex； 解 y′＝ex＋xex＝ex(1＋x). 二、求较复杂函数的导数 例2 求下列函数的导数： 反思感悟 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； 解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝3x2－2x＋1. 解 ∵y＝ ∴y′＝ 三、与切线有关的问题 A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x－y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 √ ∴f′(0)＝－1， ∴切线方程为y－1＝－(x－0)， 即x＋y－1＝0. 延伸探究 曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 √ 解析 设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行. ∵y′＝ln x＋1， ∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点坐标为(1,0). 反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同. √ (2)曲线y＝ (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为____. 1 ∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 令x＝0得y＝－2； 令y＝0得x＝1. 1.知识清单： (1)导数的乘法与除法法则. (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则. 课堂小结 随堂演练 解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x). 1.设函数y＝－2exsin x ... ...
