5.3.1复数的三角表示式 教案

复数的三角表示式 【教学目标】 了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 【教学重难点】 复数的三角形式. 【教学过程】 一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题： 1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 二、基础知识 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值： 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． ■名师点拨 （1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． （2）复数0的辐角是任意的． （3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π. （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 三、合作探究 1．复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式 【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式： （1）＋i； （2）－i. 【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限， 所以cos θ＝，即θ＝， 所以＋i＝2. （2）r＝＝2，cos θ＝， 又因为－i对应的点位于第四象限， 所以θ＝. 所以－i＝2. 【规律方法】 复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模． （2）决定辐角所在的象限． （3）根据象限求出辐角． （4）求出复数的三角形式． [提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值． 角度二 三角形式化为代数形式 【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． （1）4； （2）(cos 60°＋isin 60°)； （3）2. 【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝. 4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i ＝2＋2i. （2）(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°. (cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i ＝＋i. （3）2 ＝2 ＝2. 所以复数的模r＝2，辐角的主值为π. 2＝2cos π＋2isin π ＝2×＋2×i ＝1－i. 【规律方法】 复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）. 四、课堂检测 1．复数1－i的辐角的主值是( ) A．π B．π C．π D． 解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π. 2．复数9(cos π＋isin π)的模是_____． 答案：9 3．arg(－2i)＝_____． 答案：π 3 / 3 ... ...