2.2.1《解一元二次方程—直接开平方法》典例解析与同步训练

2.2.1《解一元二次方程—直接开平方法》典例解析与同步训练 【知识要点】 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 【典例解析】 例1．解一元二次方程：（x﹣1）2=4． 例题分析： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体． （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．方程左边为完全平方的形式，开方直接解答便可得出x﹣1的值，进而求x． 解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=3或x=﹣1． 例2．求下列各式中的x的值． （1）（x+10）2=16 （2） 例题分析： 本题考查了直接开方法求一元二次方程的解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点　 （1）可用直接开平方法进行解答； （2）先移项、把系数化为1，写成x2=a的形式，再用直接开平方法进行解答； 解：（1）（x+10）2=16， ∴x+10=±4， ∴x1=﹣14或x2=﹣6； （2）， x2=196， ∴x=±14， ∴x1=14或x2=﹣14． 例3．设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题： （1）y是有理数吗？请说明你的理由； （2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计． 例题分析：本题主要考查了无理数的定义及估算无理数大小的方法． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．估算无理数的大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，从而求出无理数的近似值． （1）先根据圆的面积公式列出方程，求出y的值，再根据有理数、无理数的定义进行判断； （2）根据精确度的定义，将（1）中求出的y的值进行估计，并用计算器验证即可． 解：（1）y不是有理数． 理由如下： 由题意，得πy2=5π， ∴y2=5， ∵y＞0， ∴y=． 由于是无理数，所以y是无理数，即y不是有理数． （2）∵2.12=4.41，2.22=4.84，2.32=5.29， ∴估计精确到十分位，约为2.2， 用计算器计算=2.23606…， ∴≈2.2（结果精确到十分位）． 例4．（1）计算+tan60°； （2）解方程：（x+3）2=（1﹣2x）2； （3）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来； （4）先化简，再求值：，其中x=﹣4． 例题分析： 本题考查数，式，方程，不等式几方面的内容，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握每个知识点的解题格式及要求．涉及实数的运算，解一元二次方程，解不等式组，分式的化简四个考点．在解题时，需要针对每个考点分别熟悉解题规则，格式及注意事项，准确解答． 解：（1）原式=﹣1﹣2++=+1﹣1﹣2++=； （2）原方程化为：x+3=1﹣2x或者x+3=﹣（1﹣2x），分别解方程得x1=﹣，x2=4； （3）解不等式（1）得x＜2，解不等式（2）得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2； （4）原式=÷=?=． 当x=﹣4时，原式==﹣1． 例5．计算 （1）已知：（x+1）2=16；求x的值 （2）计 ... ...