(
课件网) 第1课时 等差数列的概念及其通项公式 第一章 2022 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位 素养阐释 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式及运用. 3.会判断一个数列是否为等差数列. 4.加强数学运算和逻辑推理能力的培养. 自主预习 新知导学 一、等差数列的定义 【问题思考】 1.下列数列有什么共同特点 (1)-2,0,2,4,6,…; (2)-9,-9,-9,-9,…; (3)5,0,-5,-10,-15,…. 提示:(1)an+1-an=2; (2)an+1-an=0; (3)an+1-an=-5. 故共同点为每一个数列从第二项开始,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 2.对于一个数列,如果从第 2 项起,每一项与它的前一项的 差 都是同一个常数 ,那么称这样的数列为等差数列,称这个 常数 为等差数列的公差,通常用字母 d 表示.对于等差数列{an},有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…= d . 3.做一做:(1)下列数列是等差数列的是 .(填序号) ①1,-1,1,-1,1,-1;②m,m,m,m,…;③- ,1,2,3,4,…;④-2,-5,-8,-11,-15. (2)已知数列{an}的通项公式是an=n,则{an}的公差为 . 答案:(1)② (2)1 二、等差数列的通项公式 【问题思考】 1.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,如何求得它的通项公式 提示:由等差数列的定义得a1=a1+0d; a2=a1+d; a3=a2+d=a1+2d; a4=a3+d=a1+3d; …… 归纳得,an=a1+(n-1)d. 2.若等差数列{an}的首项为a1,公差是d,则其通项公式为an= a1+(n-1)d . 3.做一做:已知等差数列:5,…,14,17,…,则an= ;a3= . 解析:d=17-14=3,故an=5+(n-1)×3=3n+2,a3=3×3+2=11. 答案:3n+2 11 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × ) (2)若一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4,则它一定是等差数列.( × ) (3)等差数列的公差d可以是正数也可以是负数,但不能为0.( × ) (4)首项a1=4,公差d=-2的等差数列的通项公式为an=6-2n.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 求等差数列的通项公式 【例1】 在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求其通项公式. 解:记等差数列{an}的公差为d.∵a5=10,a12=31, ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5, ∴等差数列{an}的通项公式为an=3n-5. 【变式训练1】 在等差数列{an}中,若a4=4,a10=8,则an= . 探究二 等差数列的定义及判定 【例2】 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是否为等差数列. 分析 可以利用a1和d写出bn的通项公式,也可以直接利用定义判断bn+1-bn是否为常数. 解法一 由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d] +4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.由于bn是关于n的一次函数(或常函数,d=0时),故{bn}是等差数列. 解法二 根据题意,知bn+1=3an+1+4, 则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数).由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列. 等差数列的判定方法有以下两种: (1)定义法:an+1-an=d(常数) {an}为等差数列; (2)通项公式法:an=an+b(a,b是常数) {an}为等差数列. 【变式训练2】 已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数). (1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列 (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. (1)解:欲使{an}是等差数列, 则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数, 所以只有2p=0,即p=0时,数列{an}是等差数列. (2)证明:因为an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数,所以{an+1-an}是等差数列. 探究三 通项公式的应用 【例3】 在等差数列{an ... ...
