6.2 函数的极值 A组 1.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)( ). A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 解析:设y=f'(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值. 答案:C 2.函数y=2x3-x4的极大值为( ). A.0 B.-9 C.2 D. 解析:由y'=6x2-4x3=0,得x1=0,x2=. 分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下: x (-∞,0) 0 (0,) (,+∞) y' + 0 + 0 - y ↗ 无极值 ↗ 极大值 ↘ 所以为函数的极大值点,极大值为. 答案:D 3.若函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)内有极值,则实数b的取值范围是( ). A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,) 解析:f'(x)=3x2-3b. ∵函数f(x)在区间(0,1)内有极值, ∴f'(0)·f'(1)<0,即-3b·(3-3b)<0. ∴0-1 C.a<- D.a>- 解析:由题意知方程y'=ex+a=0有大于0的实根,则a<0,ex=-a,从而x=ln(-a). ∵x>0, ∴ln(-a)>0,∴-a>1,∴a<-1. 答案:A 6.函数f(x)=x3-3x2+1在x= 处取得极小值 . 解析:由f(x)=x3-3x2+1,得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2). 解方程f'(x)=0,得x1=0,x2=2. 当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(-∞,0),(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 故x2=2为函数f(x)的极小值点,极小值为f(2)=8-12+1=-3. 答案:2 -3 7.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是 . 解析:由已知得f'(x)=3x2-3a. 解方程f'(x)=0,得x=±. 由函数f(x)的单调性得,函数f(x)在x=-处取得极大值,在x=处取得极小值. 所以f(-)=6,f()=2, 即(-)3+3a+b=6,()3-3a+b=2, 解得a=1,b=4. 代入检验,知符合题意. 所以f'(x)=3x2-3.令f'(x)<0,解得-10,解得a>2或a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 9.已知函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增. (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)的极值. 解:(1)由函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,可知当x=1时函数f(x)取得极小值,∴f'(1)=0. ∵f'(x)=-x3+2x2+2ax-2, ∴f'(1)=-1+2+2a-2=0,解得a=. (2)由(1)知f(x)=-x4+x3+x2-2x-2, ∴f'(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2). 解方程f'(x)=0,得x1=-1,x2=1,x3=2. 根据x1,x2,x3列表分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴函数f(x)有极大值f(-1)=-,f(2)=-,极小值f(1)=-. B组 1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)为偶函数,且在区间(0,1)内存在极大值,则f'(x)的图象可能为( ). 解析:∵f(x)是偶函数,∴f'(x)是奇函数. 函数f(x)在区间(0,1)内存在极大值,设极大值点为x=x0,即在区间(0,x0)内,f'(x)>0,在区间(x0,1)内,f'(x)<0,故选C. 答案:C 2.已知函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)( ). A.在区间,(1,e)内均有零点 B.在区间,(1,e)内均无零点 C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间内无零 ... ...
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