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课件网) 2022年中考数学三轮复习（人教版） 提分微课 05 相似模型的应用 ●构图模型 ●例题精析 ●巩固训练 “相似”是求线段长和线段比值的重要工具之一,因此,同学们要注意掌握相似的基本图形及其各种演变和联系. 例1 [2020·山西]如图W5-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3, BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为 . 图W5-1 [思路分析] 此题易求CD的值,因此可转化为求CF,FD与CD的比例关系. 根据平行线构造A字型或X型或构造反A字型等相似图形.从而求得比例关系. [解析]构造A字型 方法一:已知∠ACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理,得AB=5. ∵CD⊥AB, ∴AB·CD=AC·BC,∴CD=. 如图,过点E作EH⊥AB于点H.则EH∥CD, ∴△BEH∽△BCD, ∴,∴EH=CD=. 易得△ABC∽△ACD, ∴,得AD=, 由△ABC∽△CBD,得, ∴BD=.∴DH=BD=. 由△ADF∽△AHE,得,∴,解得DF=. 其他构图方法: 构造X型 方法二:由方法一知:CD=,AD=,BD=, 过点E作EG∥AB交CD于点G, 由平行线分线段成比例,得DG=CD=,EG=, 由EG∥AB,知△ADF∽△EGF, ∴,即,解得DF=. 其他构图方法: 构造反A字型 方法三:如图,过点B作BQ⊥AE交AE的延长线于点Q. ∵AE是△ABC的中线, ∴S△ABE=S△ABC=×3×4=3. ∵S△ABE=AE·BQ=BQ=3, ∴BQ=. ∵AB=5,∴AQ=, 由△ADF∽△AQB,得, ∴, 解得DF=. 例2 [2021·扬州]如图W5-2,一次函数y=x+的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C,则线段AC长为 ( ) A. B.3 C.2+ D. 图W5-2 A [解析]方法一:构造子母型相似. 如图,作∠OBD=60°,交x轴于点D. 易求OD=.易得△BCA∽△DCB, ∴BC2=CA·CD. 设AC=x, 有(x+)2+()2=x(x+), ∴x=. 方法二:构造一线三垂直. 作CD⊥AB交BA延长线于D,过点D作EF∥x轴交y轴于F,作CE⊥EF于E, 易知△CED∽△DFB. 设CE=DE=a, 则DF=BF=a,BF-CE=OB=, ∴a-a=,∴a=, ∵AC=OC-AO, ∴AC=a+a-=(+1)·. 此题也可在Rt△ADC和Rt△BCD中 根据特殊角的三角函数求解,同学 们可自己尝试解决. 方法三:构造一线三等角. 作∠ECO=∠DAO=60°,与y轴分别交于点E,D. 易知△CEB∽△BDA,∴,∴BE·BD=CE·AD. 设AC=x, 则EO=x,CE=2x+2,OD=,AD=2, ∴()(x)=2(2x+2), ∴x=. 方法四:构造倍半角. 作∠CBA的平分线BD,交x轴于点D. 易知OB=OA=,OD=,BD=CD=2. ∴AD=.∴AC=+2. 方法五:构造辅助圆. 在x轴上方,以AC为边构造等边三角形MAC,作MH⊥AC,垂足为H,连接MB, 易知C,A,B三点共圆,MA=MB=MC. 设AC=2x,则AH=x,MH=x,∴M(--x,x). ∵A(-,0),B(0,),MA2=MB2, ∴(+x)2+(x-)2=x2+(x)2,∴x=,∴AC=2x=. [方法总结] 方法一:构造“子母”型相似;方法二:构造“一线三垂直”图形;方法三:构造“一线三等角”图形;方法四:构造“倍半角”模型;方法五:构造辅助圆. 1.如图W5-3,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B, AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 图W5-3 巩固训练 C [解析]∵∠ACD=∠B,∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC,∴=()2=. ∵S△ACD=1, ∴S△ABC=4,S△BCD=S△ABC-S△ACD=3. 2.如图W5-4,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=4,BD=9,则CD的长为 ( ) A.2 B. C.3 D.6 图W5-4 D [解析]易知△ADC∽△CDB, ∴CD2=AD·BD, ∴CD=6.故选D. 3.[2021·连云港]如图W5-5,△ABC中,BD⊥AB,BD,AC相交于点D,AD=AC,AB=2,∠ABC=150°,则△DBC的面积是 ( ) A. B. C. D. 图W5-5 A [解析]如图,过点C作BD的垂线,交BD的延长线于点E, 则∠E=90°, ∵BD⊥AB,CE⊥BD,∴AB∥CE,∠ABD=90°, ∴△ABD∽△CED,∴, ∵AD=AC,∴, ∴,则CE=, ∵∠ABC=150°,∠ABD=90°, ∴∠CBE=60°, ∴BE=CE=, ∴BD=BE=, ∴S△BCD=BD·CE=. 4.如图W5-6,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,C分别在x轴,y ... ...
