课件21张PPT。空间向量及其运算123 如果l是经过点A且平行于已知非零向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式： 三个向量共面的充要条件： 定理：如果两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对x、y，使： 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使： 或对空间任意一点O，有： 例1 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足： ，其中x+y+z=1,试问：点P、A、B、C是否共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然成立？ 例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 ， ， ， ，求证： (1)?四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC 例3 在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF，求证：A1F⊥C1E 空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数对x、y、z，使 推论： 设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使 例1 利用空间向量的方法证明直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直. 例2 已知：在空间四边形OABC中， OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB 例3 已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与所成的角为30Ｏ，如果AB=a，AC=BD=b,求C、D间的距离. 1、给出下列命题： (1)若向量 共线，向量 共线，则向量 共线 (2)向量 共面即它们所在的直线共面； (3)若向量 平行，则存在唯一的实数m，使 (4)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点Ｏ，若 ，则点Ｏ是△ABC的重 心。 其中不正确的命题的序号是 . 2、已知 是空间向量的一组基底，则下列向量中可以与向量 构成基底的是( ) (A) (B) (C) (D) 3、若向量 均为非零向量，则 是向量 平行的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件 4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 点F是侧面CD1的中心，若 ，则 m= ,n= 。 5、 对空间任意一点Ｏ，若 ，则A、B、C、P四点( ) (A) 不一定共面 (B)一定共面 (C) 一定不共面 (D)无法判定 例1 用向量方法求证：长方体的体对角线长的平方等于它的长、宽、高的平方和 . 例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中，Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l的距离分别是2和4，且AB=10，求CD的长. 例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点 (1)?求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。 再见
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