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课件网) 4.2.1 等差、等比数列的综合问题 第三部分 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 03 核心素养微专题(四) 必备知识 精要梳理 1.判断给定的数列{an}是等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d是常数(n∈N*). (2)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数). (3)前n项和法:数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn(A,B是常数且A2+B2≠0). (4)等差中项法:an+an+2=2an+1(n∈N*). 2.若数列{an},{bn}为等差数列且项数相同,则{kan},{an±bn},{pan+qbn}都是等差数列. 3.判断给定的数列{an}是等比数列的方法 关键能力 学案突破 热点一 等差(比)数列的判断与证明 【例1】(2020山东淄博4月模拟,18)已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3n-1, bn=an+n. (1)证明:数列{bn}为等比数列; (2)求数列{an}的前n项和. 解题心得1.判断数列是等差(比)数列的方法通常有四种,证明数列是等差(比)数列的方法常用定义法. 2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明. 【对点训练1】(2019全国Ⅱ,理19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式. 热点二 等差数列的通项及求和 【例2】(2019全国Ⅰ,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求{an}的通项公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. 解 (1)设{an}的公差为d. 由S9=-a5,得a1+4d=0. 由a3=4,得a1+2d=4. 可得a1=8,d=-2. 因此{an}的通项公式为an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn= 由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}. 解题心得a1,n,d是等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可“知三求二”,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法. 【对点训练2】(2020海南天一大联考第三次模拟,17)对于由正整数构成的数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An也是{An}中的项,则称{An}为“Q数列”.设数列{an}满足a1=6,8≤a2≤12. (1)请给出一个{an}的通项公式,使得{an}既是等差数列也是“Q数列”,并说明理由; (2)根据你给出的通项公式,设{an}的前n项和为Sn,求满足Sn>100的正整数n的最小值. 解 (1)给出的通项公式为an=2n+4,a1=6,a2=8符合题意. 因为对任意n∈N*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2, 所以{an}是公差为2的等差数列. 对任意m,n∈N*且m≠n, am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2, 所以{an}是“Q数列”. 因为Sn单调递增,且S7=72+5×7=84<100,S8=82+5×8=104>100, 所以n的最小值为8. 注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容: ②an=6n,Sn=3n2+3n,n的最小值为6. 热点三 等比数列的通项及求和 【例3】(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8. (1)求{an}的通项公式; (2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100. 解 (1)设{an}的公比为q. 由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8. 解得q= (舍去),q=2. 因为a1q2=8,所以a1=2. 所以{an}的通项公式为an=2n. (2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480. 解题心得1.已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可. 2.若已知条件没有明确数列{an}是等比数列,而是已知an=f(Sn)的关系式,在转化此条件时 ... ...
