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课件网) 6.4.3 统计与概率问题综合应用 第三部分 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 03 核心素养微专题(七) 必备知识 精要梳理 离散型随机变量的期望与方差 (1)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为X的均值或数学期望. (2)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·pn叫做随机变量X的方差. (3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X). 关键能力 学案突破 热点一 离散型随机变量的期望与方差 【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为: X 5% 10% P 0.8 0.2 Y 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η); (2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少 [注:D(aX+b)=a2D(X)] 解 (1)由题知,ξ,η的分布列分别为: ξ 5 10 P 0.8 0.2 η 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 所以E(ξ)=5×0.8+10×0.2=6,D(ξ)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4. E(η)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, D(η)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. (2)设在A,B两个项目上分别投资x万元,(200-x)万元,利润的方差之和为f(x). 可见,当x=150时,f(x)的最小值为12. 所以在A,B两个项目分别投资150万元,50万元时,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和最小,最小值是12. 解题心得期望与方差的一般计算步骤 (1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所有可能取的值; (2)求X取各个值时的概率,写出分布列; (3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算. 若变量X服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解. 【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理. (1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式; (2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差; ②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个 请说明理由. 解 (1)由题意,当n∈[0,16)时,利润y=120n-960;当n∈[16,+∞)时,利润y=(120-60)×16=960;综上,当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为 (2)①由(1)可得,当n=14时,利润X=120×14-960=720;当n=15时,利润X=120×15-960=840;当n≥16时,利润X=960;所以X的分布列为: X 720 840 960 P 0.1 0.2 0.7 所以E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912; D(X)=(720-912)2×0.1+(840-912)2×0.2+(960-912)2×0.7=6 336; ②由题意,设加工17个蛋糕时,当天的利润为Y(单位:元). 当n=14时,利润Y=120×14-60×17=660; 当n=15时,利润Y=120×15-60×17=780; 当n=16时,利润Y=120×16-60×17=900; 当n≥17时,利润Y=60×17=1 020; Y的分布列如下: Y 660 780 900 1 020 P 0.1 0.2 0.16 0.54 则E(Y)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1 020×0.54=916.8>912. 从数学期望来看,每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润,应加工17个. 热点二 统计数据及概率在现实决策问题中的应用 【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设 ... ...
