双曲线 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 双曲线 一、学习要求 1．了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程． 2．了解双曲线的简单几何性质，重点关注与渐近线相关问题的研究． 二、课前预习 1．双曲线的渐近线的方程是_y＝±_，离心率是_eq \F(,2)_；双曲线的渐近线的方程是_ y＝±2x_ ，离心率是_eq \F(,2)_；双曲线的渐近线的方程是_ y＝±2x _，离心率是__；等轴双曲线的渐近线方程是_y＝±x_，离心率是__． 2．平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，|MF1－MF2|是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的_必要不充分_条件． 3．双曲线两准线间的距离是，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是_或_． 4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，它的离心率为_eq \F(,2)或_． 5．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程为_－＝1（x≥）_． 【知识与方法】 双曲线是平面上与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点集，即| |PF1|－|PF2| |＝±2a，2a＜2c．其中满足|PF1|－|PF2|＝2a的点仅表示双曲线的一支，这是与椭圆定义有区别的地方，当2a＝2c时，满足|PF1|－|PF2|＝2a的点P的轨迹是一条射线． 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 图 形 顶 点 A(a，0)，A’(－a，0) A(0，a)，A’(0，－a) 两 轴 实轴|AA’|＝2a，虚轴|BB’|＝2b 焦 点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦 距 |F1F2|＝2c且c2＝a2＋b2 离心率 e＝(e＞1) 准线方程 x＝和x＝－ y＝和y＝－ 焦点半径 设P点的坐标为(x 1，y1)，则|PF1|＝ex1＋a， |PF2|＝ex1－a 设P点的坐标为(x1，y2)，则|PF1|＝ey1＋a， |PF2|＝ey1－a ※几点说明: 1°双曲线的标准方程中,与双曲线有关的待定系数也有四个:a、b、c、e,它们的关系与椭圆不同之处:c2＝a2＋b2,c最大. 2°双曲线的离心率e＞1(而椭圆0＜e＜1).它可以反映双曲线张口大小,e值越大(c、b接近)张口越大,e值接近于1,它的张口越扁狭. 3°双曲线与椭圆不同之处还有重要的一点,即双曲线有两条渐近线,而椭圆没有渐近线. 关于双曲线的渐近线还应掌握以下内容: 如何求双曲线的渐近线？ 因为双曲线－＝1的两条渐近线方程可合为(＋)(－)＝0,即－＝0,故要写双曲线的渐近线方程,可以先把方程化成标准形式,然后令右边的常数项为0.同样,双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0. 三、典型例题 例1 求满足下列条件的双曲线方程：（1）离心率是，与椭圆＋＝1有公共焦点；（2）与椭圆＋＝1共焦点，且过点（3，）；（3）与双曲线－＝1有公共渐近线，且过点（－3，2）． 解：（1）因为＋＝1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，所以设双曲线方程为－＝1，则由c＝5，＝，所以a＝3，b＝4，双曲线方程为－＝1； （2）椭圆＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)，可以设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝20．又∵过点（3，），∴－＝1． 综上得，a2＝20－2，b2＝2，所以eq \F(x2, 20－2)－eq \F(y2, 2)＝1． （3）由题意设双曲线方程为－＝λ，由于双曲线经过点（－3，2），所以λ＝－＝，所以双曲线方程为－＝1． 【小结】 例2 双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右准线l2与一条渐近线的交于点P，F是与l2相应的焦点．（1）求证：PF与这条渐近线垂直；（2）求PF；（3）延长FP交左准线l1 和左支分别为Q，R，若Q为R，P的中点，求双曲线的离心率e． 解：（1）联立y＝x与x＝，于是得P(，)． kPF＝－，kOP＝，所以kPF kOP＝－1，所以PF⊥OP． （2）因为tan∠POF＝，所以sin∠POF＝eq \F(b,)＝， 所以PF＝OFsin∠POF＝c·＝b． （3）易得Q(－，)，因为Q为R，P的中点，所以R点的坐标(－,) 由于R在双曲线上，所以有－ ... ...