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课件网) 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与 有交点 函数y＝f(x)有 ． f(x)＝0 零点 x轴 (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____，那么函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_____，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 f(a)f(b)<0 3．二次函数图象与零点的关系 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．(人教A版必修第一册P155·T2改编)函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为 ( ) A.2 B．3 C．4 D．5 解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点． 答案：B x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 5．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是_____． 层级一/ 基础点———自练通关(省时间) 基础点(一) 函数零点存在定理的理解 [题点全训] 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则 ( ) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析：因为函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解． 答案：D 2．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法错误的有 ( ) A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 [一“点”就过] 对函数零点存在定理的理解 存在性 当函数y＝f(x)满足定理的条件时，函数在区间(a，b)内至少存在一个零点 唯一性 在满足定理的条件下，若函数f(x)在区间(a，b)上又是单调函数，则该函数在区间(a，b)内只有一个零点 不可逆性 若函数f(x)在区间(a，b)有零点，不一定有f(x)的图象是一条连续不断的曲线，也不一定有f(a)f(b)<0成立 基础点(二) 函数判断零点所在区间 [题点全训] 1．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为 ( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内． 答案：B 2．(2021·石嘴山三模)方程2x＝2－x的根所在区间是 ( ) A．(－1,0) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 解析：令f(x)＝2x＋x－2，因为f(0)＝20＋0－2＝－1＜0，f(1)＝21＋1－2＝1＞0，所以f(0)f(1)＜0，由函数零点存在定理知，D正确 ... ...
