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课件网) 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 2.函数的周期性 周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期 f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)奇函数的特殊性质 ①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0. ②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. 2．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝_____. 3．(苏教版必修第一册P126·T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是_____． 4．(北师大版必修第二册P4·习题A组T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 021)＝_____. 解析：由题意知f(2 021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 021)＝1. 答案：1 层级一/ 基础点———自练通关(省时间) 基础点 判断函数的奇偶性 [题点全训] 1．以下函数图象中为奇函数的是 ( ) 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A. 答案：A 解析：对于A，定义域为R，f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，f(x)是奇函数；对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，f(x)是偶函数；对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数． 答案：C [一“点”就过] 函数奇偶性的判定方法 (2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝_____. (3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 021)＋f(2 023)的值为_____． (2)设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1. (3)由题意得，g(－x)＝f(－x－1)， ∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数， ∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， 即f(x－1)＋f(x＋1)＝0. ∴f(2 021)＋f(2 023)＝f(2 022－1)＋f(2 022＋1)＝0. [方法技巧] 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内 ... ...
