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课件网) 第三章 |一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算 1.通过实例分析，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即 ，切线方程为 ． k0＝f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0) 3．基本初等函数的导数公式 5．复合函数的定义和导数 (1)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0，(f(x0))′是函数值f(x0)的导数且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． (4)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)． (6)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (7)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． (8)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． 1．(北师大版选择性必修第二册P57·T1改编)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为 ( ) 2．(人教A版选择性必修第二册P81·T1改编)(多选)下列导数的运算中正确的是 ( ) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x 3．已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1,2)处的切线平行，则a＝ ( ) A．1 B．2 C．e D．2e 答案：x＋2y－2＝0 5．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则f′(1)＝_____. 答案：－2 层级一/ 基础点———自练通关(省时间) 基础点(一) 导数的运算 [题点全训] 4．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为_____． [一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 2．已知函数f(x)＝g(x)·x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程是y＝2x－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 ( ) A．y＝x＋1 B．y＝4x－3 C．y＝3x－2 D．y＝5x－4 解析：由题意得，g(1)＝2×1－1＝1，g′(1)＝2， ∴f(1)＝g(1)×12＝1，∵f′(x)＝g′(x)·x2＋2x·g(x)， ∴f′(1)＝g′(1)＋2g(1)＝4，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4(x－1)＋1，即y＝4x－3. 答案：B 层级二/ 重难点———逐一精研(补欠缺) 重难点(一) 求曲线过某点的切线方程 [典例] 若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为 ( ) A．12x－y－16＝0 B．3x－y＋2＝0 C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0 D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0 [解析] ①易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，y′＝3x2，k＝12，切线方程为12x－y－16＝0. 过点的切线方程的求解方法 设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切 ... ...
