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课件网) 第三节 平面向量的数量积及其应用 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 1．平面向量数量积的有关概念 续表 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 续表 3.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝_____ 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c b·a (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0 a＝b＝0. (2)有关向量夹角的两个结论 ①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； ②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．(人教A版必修第二册P34·例10改编)已知△ABC三顶点为A(－1，－4)，B(5,2)，C(3,4)，则△ABC是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．(人教A版必修第二册P21·例12改编)已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，则(a＋b)·(2a－b)＝_____. 答案：－1 5．(2021·北京高考)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_____；a·b＝_____. 答案：0 3 层级一/ 基础点———自练通关(省时间) 基础点(一) 求简单的平面向量的数量积 [题点全训] 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ ( ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3. 答案：B 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝_____. [一“点”就过] 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)活用平面向量数量积的几何意义． 基础点(二) 向量数量积的简单应用 [题点全训] 3．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝____. 4．(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝_____. [方法技巧] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补． 不能恰当地确定变量求解范围、最值问题 ——— [诊治策略] 解平面向量中有关最值问题的思路 形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断 数化 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 [方法技巧] 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 [针对训练] 1．一物体在力F的作用下，由点A(20,15)移动到点B(7,0)．已知F＝(4，－5)，则F对该物体做的功为_____． 2.已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． 重难点(三) 平面向量数量积与三角相结合 [典例] (2021·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则 ( ) [方法技巧] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标 ... ...
