抛物线（知识梳理+试题）学案

中小学教育资源及组卷应用平台 抛物线 一、学习要求 1．掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程； 2．掌握抛物线的简单性质，能利用抛物线的定义，进行到焦点距离和到准线距离间的转化． 二、课前预习 1．抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点坐标为_(－p, 0)_，准线的方程为_x＝p_． 2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为_(0, －2)_，准线的方程为_y＝2_． 3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，并经过点P（－6，－3）的抛物线方程是_x2＝－12y或y2＝－x_． 4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__． 5．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B（如图所示），交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_y2＝3x_． 解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得＝，而点B到准线的距离为|BF|，则l与准线的夹角为30°，∴直线l的倾斜角为60°．由|AF|＝3得cos60°＝，∴p＝，故抛物线方程为y2＝3x． 【知识与方法】 1．抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹．其中F为抛物线的焦点，l是抛物线的准线． 抛物线的定义我们经常用来直接解题，特别是在遇到与焦点有关的问题时． 2．抛物线的标准方程与几何性质: 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px（p＞0） x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 焦点半径 设点P的坐标为(x1，y1)，则 |PF|＝|x1|＋ |PF|＝|y1|＋ 三、典型例题 例1设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程． 解：由抛物线方程知焦点F(, 0)，∴直线l为y＝2(x－)，与y轴交点A(0, －)． ∴S△OAF＝·|OA|·|OF|＝·|－|·||＝4． ∴a2＝64，a＝±8，故y2＝±8x． ∴抛物线的方程为y2＝±8x． 【小结】 例2抛物线C：y2＝2px(p>0)上横坐标为－的点到焦点F的距离为2． （1）求p的值； （2）过抛物线C的焦点F，作相互垂直的两条弦AB和CD，求|AB|＋|CD|的最小值． 解：（1）由已知得2＝＋，解得p＝1． （2）由（1）知F(, 0)，显然直线AB的斜率存在且k≠0， 设直线AB：y＝k(x－)，与y2＝2x联立得：k2x2－(2＋k2)x＋＝0（k≠0）， 满足Δ＞0，即k2＋1＞0恒成立． 设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1＋x2＝，k∈R，k≠0， 则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋1＝＋1＝2＋． 根据CD⊥AB，则可设直线CD：y＝－(x－)，与y2＝2x联立，同理可得|CD|＝2＋2k2， 所以|AB|＋|CD|＝4＋＋2k2≥4＋2＝8， 当且仅当＝2k2，即k＝±1时，|AB|＋|CD|取得最小值8． 【小结】 例3已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点A(m，4)到其焦点的距离为． （1）求p与m的值； （2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值． 解：(1)由抛物线的定义，得4－(－)＝， 又m2＝8p，所以p＝，m＝±2. (2)由p＝，得抛物线的方程为y＝x2. 由题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0. 设直线PQ的方程为：y－t2＝k(x－t)，k≠0， 令y＝0，得M(t－，0)． 解方程组得Q(k－t，(k－t)2)． 由NQ⊥PQ，得直线NQ的方程为：y－(k－t)2＝－(x＋t－k)， 解方程组得N(t－k－，(t－k－)2)． 于是抛物线C在点N处的切线方程为 y－(t－k－)2＝2(t－k－)(x＋k＋－t)．　① 将点M的坐标代入①，得 (t－k－)(k＋＋t－)＝0，　② 当t－k－＝0时，t＝k＋>0， 故k>0，此时，t＝k＋≥2 ＝2； 当t－k－≠0时， 由②得k＋＋t－＝0， 即k2＋tk＋1－2t2＝0， 此时，Δ＝9t2－4≥0. 因为t>0，所以t≥. 当t＝时，k＝－，P(，)，Q(－1,1)，N(4,16)，符合题意． 综上，t的最小值为. ... ...