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课件网) 第三节 等比数列 1.理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系. 定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列 通项公式 设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝ .推广：an＝amqn－m(m，n∈N*) 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么___叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab 比 2 a1qn－1 G 1．等比数列的有关概念 (2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． (3)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (4)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝_____. 解析：由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63. 答案：63 4．(苏教版选择性必修第一册P150·例1改编)已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝_____. 5．(人教A版选择性必修第二册P31·T3改编)若正项等比数列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比为_____． 层级一/ 基础点———自练通关(省时间) 基础点 等比数列基本量的运算 [题点全训] 1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝ ( ) A．16 B．8 C．4 D．2 2．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝ ( ) A．7 B．8 C．9 D．10 4．(2021·亳州模拟)《九章算术》中有述：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是 ( ) (结果精确到0.1.参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48) A．2.9天 B．3.9天 C．4.9天 D．5.9天 [一“点”就过] (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． 层级二/ 重难点———逐一精研(补欠缺) 重难点(一) 等比数列的判定与证明 [典例] 已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； [方法技巧] 等比数列的判定方法 [针对训练] 已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由． [方法技巧] (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． [针对训练] 1．(2022·衡水中学高三模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝ ( ) A．5 B．10 C．15 D．－20 解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝7，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，即1，S20－1,7－S20，S40－7成等比数列，所以(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1,2,4，S40－7成等比数列，所以S40－7＝8，解得S40＝15，故选C. 答案：C 3．(2022·长沙一模) ... ...
