【高考一轮复习】高三数学 第12讲 等差数列以及前n项和 学案（pdf版，学生版+教师版）

第 12 讲 等差数列及其前 n 项和 【考试要求】 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【知识梳理】 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示，定义表达式为 an －an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项 若三个数，a，A b a＋b， 成等差数列，则 A叫做 a与 b的等差中项，且有 A＝ . 2 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2) n S na n n－1 d S n a1＋an 前 项和公式： n＝ 1＋ 或 n＝ . 2 2 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. Sn (6)等差数列{an}的前 n项和为 Sn， n 为等差数列． 微思考 1．等差数列的前 n项和 Sn是项数 n的二次函数吗？ 提示 不一定．当公差 d＝0时，Sn＝na1，不是关于 n的二次函数． 2．若数列的前 n项和为 Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？ 提示 不一定．当 C＝0时是等差数列. 【基础自测】 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等差数列{an}的单调性是由公差 d决定的．( √ ) (2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( √ ) (4)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数 列．( √ ) 题组二 教材改编 2．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则 a9＝_____. 答案 －17 解析 d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17. 3．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则 d＝_____. 答案 2 解析 ∵a4＋a8＝20，∴a1＋3d＋a1＋7d＝20， 即 a1＋5d＝10，① a7＝a1＋6d＝12，② ②－①得 d＝2. 4．已知{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a3＝2，且 S6＝30，则 S9＝_____. 答案 126 a1＋2d＝2， a1＝－10， 解析 由已知可得 解得 2a1＋5d＝10， d＝6. ∴S9＝9a 9×8 1＋ d＝－90＋36×6＝126. 2 题组三 易错自纠 5．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前 n项的和，且 S5S8，则下列结论正确的是 ( ) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与 S7均为 Sn的最大值 答案 ABD 解析 S6＝S5＋a6>S5，则 a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则 a7＝0，则 d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8S9， 由 a7＝0，a6>0知 S6，S7是 Sn中的最大值． 从而 ABD均正确． 6．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差 d<0，则使数列{an}的前 n项和 Sn取最大值的正整数 n 的值是_____． 答案 5或 6 解析 ∵|a3|＝|a9|，∴|a1＋2d|＝|a1＋8d|， 可得 a1＝－5d，∴a6＝a1＋5d＝0， 且 a1>0，∴a5>0，故 Sn取最大值时 n的值为 5或 6. 【典型例题】 题型一 等差数列基本量的运算 1．(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．已知 S4＝0，a5＝5，则下列选 项正确的是( ) A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2 答案 ABC S 4× a1＋a4 解析 4＝ ＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确； 2 a5＝a1＋4d＝5 ... ...