第 40讲 范围与最值问题 【典型例题】 题型一 范围问题 2 2 例 1 x y 3已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ，直线 x＋ 3y－1＝0被以椭圆 C的短轴 a2 b2 2 为直径的圆截得的弦长为 3. (1)求椭圆 C的方程； (2)过点 M(4,0)的直线 l交椭圆于 A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围． 跟踪训练 1 (2020·山东新高考联合考试)已知 A，B是 x轴正半轴上两点(A在 B的左侧)，且|AB| ＝a(a>0)，过 A，B分别作 x轴的垂线，与抛物线 y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于 D，C两点． (1)若 a＝p，点 A与抛物线 y2＝2px的焦点重合，求直线 CD的斜率； (2)若 O S为坐标原点，记△OCD的面积为 S1，梯形 ABCD的面积为 S ，求 12 的取值范围． S2 题型二 最值问题 2 (2020· ) C x 2 y2 例 新高考全国Ⅱ 已知椭圆 ： ＋ ＝1(a>b>0)过点 M(2,3)，点 A为其左顶点，且 a2 b2 AM 1的斜率为 . 2 (1)求 C的方程； (2)点 N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 例 3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆 O交 x轴于点 F1，F2，交 y轴于点 B1，B2， 1 2， 以 B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆 E恰好经过点 2 . (1)求椭圆 E的标准方程； (2)设经过点(－2,0)的直线 l与椭圆 E交于 M，N两点，求△F2MN的面积的最大值． 2 2 跟踪训练 2 x y如图所示，点 A，B分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右 36 20 焦点，点 P在椭圆上，且位于 x轴上方，PA⊥PF. (1)求点 P的坐标； (2)设 M是椭圆长轴 AB上的一点，点 M到直线 AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M的 距离 d的最小值． 【课后作业】 A 组 2 2 1 x y 1．设椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的左顶点为 A，上顶点为 B，已知直线 AB的斜率为 ，|AB| a2 b2 2 ＝ 5. (1)求椭圆 C的方程； (2)设直线 l：x＝my－1 与椭圆 C交于不同的两点 M，N，且点 O在以 MN为直径的圆外(其 中 O为坐标原点)，求 m的取值范围． 2．(2021·长沙雅礼中学模拟)已知抛物线 C1：y2＝4x和 C2：x2＝2py(p>0)的焦点分别为 F1， F2，点 P(－1，－1)且 F1F2⊥OP(O为坐标原点)． (1)求抛物线 C2的方程； (2)过点 O的直线交 C1的下半部分于点 M，交 C2的左半部分于点 N，求△PMN面积的最小 值． x2 y23．(2019·全国Ⅱ)已知 F1，F2是椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为 C上的点，O为 a2 b2 坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求 C的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于 16，求 b的值和 a的取值范围． B 组 x24 C y 2 6 ．椭圆 ： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.a b 3 (1)求椭圆 C的方程； (2) 3设斜率存在的直线 l与椭圆 C交于 A，B两点，坐标原点 O到直线 l的距离为 ，求△AOB 2 面积的最大值． C 组 5．已知椭圆的两个焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线 y＝x－ 3相切． (1)求椭圆的方程； (2)过 F1作两条互相垂直的直线 l1，l2，与椭圆分别交于点 P，Q及 M，N，求四边形 PMQN 面积的最小值．第 40讲 范围与最值问题 【典型例题】 题型一 范围问题 2 2 例 1 x y已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0) 3的离心率 e＝ ，直线 x＋ 3y－1＝0被以椭圆 C的短轴 a2 b2 2 为直径的圆截得的弦长为 3. (1)求椭圆 C的方程； (2)过点 M(4,0)的直线 l交椭圆于 A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围． 解 (1) 1因为原点到直线 x＋ 3y－1＝0的距离为 . 2 1 3 所以 2 2＋ 2 2＝b2(b>0)，解得 b＝1. 2 2 又 e2 c b 3＝ ＝1－ ＝ ，得 a＝2. a2 a2 4 x2 所以椭圆 C的方程为 ＋y2＝1. 4 (2)当直线 l的斜率为 0时，λ＝|MA|·|MB|＝12. 当直线 l的斜率不为 0时，设直线 l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， x＝my＋4， 联立方程 x2 y2 1 得 ... ...
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