第 42 讲 排列、组合 【考试要求】 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. 2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 【知识梳理】 1．排列与组合的概念 名称 定义 区别 排列 从 n 个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组合无序 组合 m(m≤n)个元素 合成一组 2.排列数与组合数 定义 计算公式 性质 联系 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 排 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 不同排列的个数，叫做 (1)Ann＝n！； 列 n！ 从 n 个不同元素中取出 ＝ (n，m∈N*，且 m≤n) (2)0！＝1 数 n－m ！ m 个元素的排列数．用符 号“Amn”表示 Cm An m n＝ 从 n 个不同元素中取出 m！ m(m n) C m n n－1 n－2 … n－m＋1 ≤ 个元素的所有 n ＝ (1)Cnn＝C0n＝1； 组 m！ 不同组合的个数，叫做 (2)Cm Cn－n＝ n m； 合 n！ 从 n 个不同元素中取出 ＝ (n，m∈N*，且 m m 数 m！ n－m ！ (3)Cn＋1＝Cn ＋ m 个元素的组合数．用符 m－1m≤n) Cn 号“Cmn”表示 微思考 1．排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． 2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 CmnAmm＝Anm. (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式． 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证． 【基础自测】 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (3)若组合式 Cnx＝Cmn，则 x＝m 成立．( × ) (4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也 就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ ) 题组二 教材改编 2．从 4本不同的课外读物中，买 3本送给 3名同学，每人各 1本，则不同的送法种数是( ) A．12 B．24 C．64 D．81 答案 B 解析 4本不同的课外读物选 3本分给 3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为 A43＝ 24. 3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 B．120 C．72 D．24 答案 D 解析 “插空法”，先排 3个空位，形成 4个空隙供 3人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为 A34＝4×3×2＝24. 4．C73＋C47＋C58＋C 96的值为_____．(用数字作答) 答案 210 解析 原式＝C48＋C58＋C96＝C59＋C69＝C160＝C140＝210. 题组三 易错自纠 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ( ) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 答案 B 解析 第一类：甲在最左端，有 A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端， 甲不在最右端， 有 4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法． 所以共有 120＋96＝216(种)排法． 6．某校开设 A 类选修课 3门，B 类选修课 4门，一位同学从中共选 3门．若要求两类课程中 各至少选一门，则不同的选法种数为_____． 答案 30 解析 分两种情况：(1)A 类选修课选 1门，B 类选修课选 2门，有 C13C 24种不同的选法；(2)A 类选修课选 2门，B 类选修课选 1门，有 C23C 14种不同的选法． 所以不同的选法共有 C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种). 【典型例题】 题型一 排列问题 1．用 1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比 20 000大，并且百位数不是数字 3的没有重复数字 的五位数，共有( ) A．96个 B．78个 C．72个 D．64个 答案 B 解析 根据题意知，要求这个五位数比 20 000大，则万位数必须是 2,3,4,5这 4个数字中的一 个，当万位数是 3时，百位 ... ...
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