中小学教育资源及组卷应用平台 专题06：平行四边形 一、单选题 1．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，再根据勾股定理即可求得BC的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵AC=2，，四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=AC=1，， ∵， ∴AB2+AO2=BO2， ∴∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，， ， ， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ECD=112.5° B．DF=EF C．∠DEC=30° D．AB= CD 【答案】C 【解析】根据等腰直角三角形的性质可判断A，根据平行线的性质可判断B，由A、B条件，通过角的转换即可判断C，根据勾股定理即可判断D； 【详解】∵AB=AC，∠CAB=45°， ∴∠B=∠ACB=67.5°． ∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∴∠ACD=45°，AD=DC， ∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°， 故A正确，不符合题意； ∵E、F分别是BC、AC的中点， ∴FE=AB，FE∥AB， ∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°． ∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC， ∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°， ∵AB=AC， ∴FE=FD， 故B正确，不符合题意； ∵E、F分别是BC、AC的中点，∠ADC=90°，AB=AC ∴DF=EF ∵∠EFC=∠BAC=45° ∴∠FED=[180°-（∠EFC+∠CFD）]=22.5° ∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°， ∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°， 故C错误，符合题意； ∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC， ∴AC=CD， ∵AB=AC， ∴AB=CD， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查中位线定理，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，掌握三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 3．在□ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（ ） A．2 B．5 C．2或3 D．3或5 【答案】D 【解析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论． 【详解】解：①如图1在 ABCD中， ∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB， ∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF， ∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF， ∴AB=BE，CF=CD， ∵EF=2， ∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=8， ∴AB=5； ②如图2在 ABCD中， ∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB， ∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF， ∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF， ∴AB=BE，CF=CD， ∵EF=2， ∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=8， ∴AB=3； 综上所述：AB的长为3或5． 故选：D 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD． 4．如图，在中P是边上一点，且和分别平分和，若，，则的周长是（ ） A．18 B．24 C．23 D．14 【答案】B 【解析】由平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB＋∠CBA＝180°，再证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，然后证∠APB＝90°，最后由勾股定理求出BP＝6，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别 ... ...
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